Seja a função g de três variáveis x, y e z o conjunto de todos os pares ordenados (P, w), tal que
w=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}-z^{2}} \Leftrightarrow g(x, y, z)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}-z^{2}}
Ache:
g\left(-1, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right);

Passo 1

O enunciado nos dá a função g de três variáveis x,y,z definida por
g(x,y,z)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}-z^{2}}
e pede para calcular g\left(-1,\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right).
Os dados fornecidos são os valores das variáveis: x=-1, y=\dfrac{1}{2}, z=\dfrac{3}{2}.

Passo 2

Primeiro precisamos verificar que o ponto \left(-1,\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}\right) pertence ao domínio da função. A função envolve uma raiz quadrada, cujo radicando deve ser maior ou igual a zero, ou seja devemos ter
4-x^{2}-y^{2}-z^{2}\ge 0.
Vamos calcular x^{2}+y^{2}+z^{2} com os valores dados.

Passo 3

Calcular cada quadrado:
(-1)^{2}=1, \quad \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}, \quad \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4}.

Passo 4

Somar os quadrados convertendo para denominador comum:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{4}=1+\dfrac{10}{4}.
Escrevendo 1 como \dfrac{4}{4} obtemos
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\dfrac{4}{4}+\dfrac{10}{4}=\dfrac{14}{4}=\dfrac{7}{2}.

Passo 5

Calcular o radicando:
4-x^{2}-y^{2}-z^{2}=4-\dfrac{7}{2}.
Escrevendo 4 como \dfrac{8}{2} temos
4-\dfrac{7}{2}=\dfrac{8}{2}-\dfrac{7}{2}=\dfrac{1}{2}.
Como \dfrac{1}{2}\ge 0, o ponto está no domínio e podemos tirar a raiz quadrada.

Passo 6

Tirar a raiz quadrada do radicando:
g\left(-1,\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{1}{2}}.
Explicando a simplificação: \sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Racionalizando o denominador obtemos a forma comum
\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Lembrete útil para prova: \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} quando a,b\ge0, e a raiz quadrada principal é não negativa, portanto o sinal é positivo.

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

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