Seja a função g de três variáveis x, y e z o conjunto de todos os pares ordenados (P, w), tal que
w=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}-z^{2}} \Leftrightarrow g(x, y, z)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}-z^{2}}
Ache:
g\left(\frac{1}{2} x, \frac{1}{2} y, \frac{1}{2} z\right);

Passo 1

O enunciado dá a função g de três variáveis por
g(x,y,z)=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}-z^{2}}.
Pede-se para calcular g\!\left(\tfrac{1}{2}x,\tfrac{1}{2}y,\tfrac{1}{2}z\right). Informação relevante: a expressão dentro da raiz precisa ser não negativa, ou seja 4-x^{2}-y^{2}-z^{2}\ge 0 quando aplicável ao argumento original; para a substituição veremos a condição correspondente.

Passo 2

Aplicando a definição de g aos argumentos \tfrac{1}{2}x,\tfrac{1}{2}y,\tfrac{1}{2}z fazemos a substituição direta:
g\!\left(\tfrac{1}{2}x,\tfrac{1}{2}y,\tfrac{1}{2}z\right) = \sqrt{\,4-\big(\tfrac{1}{2}x\big)^{2}-\big(\tfrac{1}{2}y\big)^{2}-\big(\tfrac{1}{2}z\big)^{2}\,}.
Explicar passo: para qualquer função g(a,b,c)=\sqrt{4-a^{2}-b^{2}-c^{2}}, basta substituir a=\tfrac{1}{2}x, b=\tfrac{1}{2}y, c=\tfrac{1}{2}z.

Passo 3

Calcule os quadrados das frações. Lembre que \big(\tfrac{1}{2}x\big)^{2}=\tfrac{1}{4}x^{2}. Assim:
g\!\left(\tfrac{1}{2}x,\tfrac{1}{2}y,\tfrac{1}{2}z\right) = \sqrt{\,4-\tfrac{1}{4}x^{2}-\tfrac{1}{4}y^{2}-\tfrac{1}{4}z^{2}\,} = \sqrt{\,4-\tfrac{1}{4}\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)\,}.
Explicar a fórmula usada: \big(\alpha u\big)^{2}=\alpha^{2}u^{2}; aqui \alpha=\tfrac{1}{2} então \alpha^{2}=\tfrac{1}{4}.

Passo 4

Colocar sobre um denominador comum para simplificar a raiz. Escreve 4=\tfrac{16}{4}, então
4-\tfrac{1}{4}\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big) = \tfrac{16}{4}-\tfrac{1}{4}\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big) = \tfrac{16-\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)}{4}.
Logo
g\!\left(\tfrac{1}{2}x,\tfrac{1}{2}y,\tfrac{1}{2}z\right) = \sqrt{\tfrac{16-\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)}{4}}.

Passo 5

Usar a propriedade da raiz quadrada \sqrt{\tfrac{A}{B}}=\dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} para A\ge 0 e B>0. Aqui \sqrt{4}=2, portanto
\sqrt{\tfrac{16-\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)}{4}} = \dfrac{\sqrt{\,16-\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)\,}}{2}.
Podemos reescrever de forma compacta como
g\!\left(\tfrac{1}{2}x,\tfrac{1}{2}y,\tfrac{1}{2}z\right) = \tfrac{1}{2}\,\sqrt{\,16-x^{2}-y^{2}-z^{2}\,}.

Passo 6

Comentário sobre domínio (importante na prova): para que a expressão esteja definida é preciso que o argumento da raiz seja não negativo:
4-\tfrac{1}{4}\big(x^{2}+y^{2}+z^{2}\big)\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 16-x^{2}-y^{2}-z^{2}\ge 0,
ou seja \,x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 16. Exemplo rápido para checar: se x=2,y=0,z=0 então a fórmula dá \tfrac{1}{2}\sqrt{16-4}=\tfrac{1}{2}\sqrt{12}=\sqrt{3}, que coincide com calcular g(\tfrac{1}{2}\cdot 2,\tfrac{1}{2}\cdot 0,\tfrac{1}{2}\cdot 0)=g(1,0,0)=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}.

Resposta

\tfrac{1}{2}\sqrt{16-x^{2}-y^{2}-z^{2}}

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