1. Dentre as coordenadas cilńdricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada para:
    a) (1.25) Escrever a integral que representa o volume da região limitada abaixo pelo plano z=0, lateralmente pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1 e acima pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2}.
    b) (0.75) Calcular o volume da região dada no item (a).

Passo 1

O enunciado pede o volume da região limitada por z=0 por baixo, pelo cilindro x^2+y^2=1 na lateral e pelo paraboloide z=x^2+y^2 por cima. Como a geometria é cilíndrica, vamos usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) e o conceito de integral tripla com o jacobiano r.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos \;x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;z=z,
o fator de volume é r\,dr\,d\theta\,dz.
Na região, r varia de 0 a 1, \theta de 0 a 2\pi e z de 0 até r^2.
Logo, a integral que representa o volume é
V=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{r^2}r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Agora vamos calcular essa integral. Primeiro integramos em z:
\int_{0}^{r^2}r\,dz = r\bigl[z\bigr]_{0}^{r^2} = r\cdot r^2 = r^3.
Em seguida,
V=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}r^3\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{1}r^3\,dr = 2\pi\cdot\frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}.

Resposta

(a) V=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{r^2}r\,dz\,dr\,d\theta.
(b) V=\frac{\pi}{2}.

Exercícios relacionados