- Dentre as coordenadas cilńdricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada para:
a) (1.25) Escrever a integral que representa o volume da região limitada abaixo pelo plano
, lateralmente pelo cilindro
e acima pelo paraboloide
.
b) (0.75) Calcular o volume da região dada no item (a).
a) (1.25) Escrever a integral que representa o volume da região limitada abaixo pelo plano
b) (0.75) Calcular o volume da região dada no item (a).
Passo 1
O enunciado pede o volume da região limitada por
por baixo, pelo cilindro
na lateral e pelo paraboloide
por cima. Como a geometria é cilíndrica, vamos usar coordenadas cilíndricas
e o conceito de integral tripla com o jacobiano
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
o fator de volume é .
Na região, varia de
a
,
de
a
e
de
até
.
Logo, a integral que representa o volume é
o fator de volume é
Na região,
Logo, a integral que representa o volume é
Passo 3
Agora vamos calcular essa integral. Primeiro integramos em
:
Em seguida,
Resposta
(a)
(b)