Seja a função
Existe o limite de
na origem? A função
é contínua na origem?
Passo 1
O enunciado pede para estudar o limite de g(x,y) quando (x,y)→(0,0) e verificar se g é contínua na origem. O conteúdo é limite de funções de duas variáveis e continuidade; para resolver, vamos usar coordenadas polares para mostrar que o limite existe e depois comparar com g(0,0).
Passo 2
Em coordenadas polares, definimos x = r cosθ e y = r sinθ, com r ≥ 0. Para (x,y) ≠ (0,0) temos:
Como |cos^3θ| ≤ 1, segue que |g(r,θ)| ≤ r/7. Quando r → 0, r/7 → 0, logo g(r,θ) → 0 independentemente de θ. Assim o limite de g(x,y) na origem existe e vale 0.
Passo 3
A continuidade em (0,0) exige que o valor da função no ponto seja igual ao limite. Aqui g(0,0) = 2, mas mostramos que lim₍ₓ,ᵧ₎→(0,0) g(x,y) = 0 ≠ 2. Portanto g não é contínua na origem.
Resposta
O limite existe e vale 0; g não é contínua na origem.