Seja a função g(x, y)=rrx^37(x^2+y^2), & (x, y) neq(0,0) 2, & (x, y)=(0,0) Existe o limite de g na origem? A função g é contínua na origem?

Passo 1

O enunciado pede para estudar o limite de g(x,y) quando (x,y)→(0,0) e verificar se g é contínua na origem. O conteúdo é limite de funções de duas variáveis e continuidade; para resolver, vamos usar coordenadas polares para mostrar que o limite existe e depois comparar com g(0,0).

Passo 2

Em coordenadas polares, definimos x = r cosθ e y = r sinθ, com r ≥ 0. Para (x,y) ≠ (0,0) temos:
g(r,θ) = (rcosθ)^37(r^2) = r^3cos^3θ7r^2 = rcos^3θ7
Como |cos^3θ| ≤ 1, segue que |g(r,θ)| ≤ r/7. Quando r → 0, r/7 → 0, logo g(r,θ) → 0 independentemente de θ. Assim o limite de g(x,y) na origem existe e vale 0.

Passo 3

A continuidade em (0,0) exige que o valor da função no ponto seja igual ao limite. Aqui g(0,0) = 2, mas mostramos que lim₍ₓ,ᵧ₎→(0,0) g(x,y) = 0 ≠ 2. Portanto g não é contínua na origem.

Resposta

O limite existe e vale 0; g não é contínua na origem.

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