Seja uma função holomorfa, onde é um domínio que contém o disco . Suponha que para e , onde . Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que você me passou envolve funções holomorfas, que basicamente são funções complexas que são diferenciáveis em um domínio específico. Aqui, a função f: U C é holomorfa em U , que inclui todo o disco fechado de raio 1 centrado na origem, ou seja, barD(0,1) .
Dadas essas condições:
A magnitude de f(z) é no máximo K quando |z| <= 1 .
Além disso, f(a) = 0 para algum ponto a dentro do disco aberto ( a in D(0,1) ).
Nosso objetivo é mostrar que para todo z no disco fechado, a seguinte desigualdade vale:
|f(z)| <= K | z - a1 - a z |
Para resolver isso, vamos usar princípios da teoria das funções holomorfas, como o Módulo Máximo e o Lema de Schwarz, que ajudam a estabelecer limites para funções complexas sob certas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Lema de Schwarz. Esse lema afirma que se uma função g é holomorfa no disco unitário, satisfaz g(0) = 0 , e |g(z)| <= 1 para todo z dentro do disco, então |g(z)| <= |z| para todo z no disco, e |g'(0)| <= 1 .
Mas no nosso caso, temos f(a) = 0 em vez de f(0) = 0 . Então, para aplicar o Lema de Schwarz, precisamos “mover” o zero de f de a para 0 .
Passo 3
Para fazer essa mudança, vamos considerar uma função automórfica do disco unitário, que é uma função bijetiva e holomorfa do disco para si mesmo. A função que nos ajuda nessa transformação é:
phia(z) = z - a1 - a z
Essa função mapeia o ponto a para 0 e mantém o disco unitário invariante.
Passo 4
Agora, vamos definir uma nova função g(z) usando f(z) e phia(z) :
g(z) = f(z)phia(z)
Queremos entender o comportamento de g(z) . Sabemos que f(a) = 0 , e phia(a) = 0 , então g(z) deve ser bem definida e holomorfa no disco fechado.
Passo 5
Observando g(z) :
|g(z)| = | f(z)phia(z) | <= K| phia(z) |
Mas queremos encontrar um limite superior para |f(z)| , então rearranjando a inequação:
|f(z)| <= K | phia(z) |
E lembrando que phia(z) = z - a1 - a z , temos:
|f(z)| <= K | z - a1 - a z |
Isso é exatamente o que queríamos mostrar!
Resposta
Portanto, mostramos que para toda z no disco fechado barD(0,1) :