Determine os limites laterais e o limite total, se existir:
lim x 2^+ x-2x^2-4 e lim x 2^- x-2x^2-4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente determinar os limites laterais e o limite total da função x-2x^2-4 quando x se aproxima de 2, tanto pela direita ( 2^+) quanto pela esquerda ( 2^-). A matéria envolvida aqui é de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os limites laterais e como simplificar expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite lateral pela direita, ou seja, quando x se aproxima de 2 vindo de valores maiores que 2 ( x 2^+).
A função é:
lim x 2^+ x-2x^2-4
Vamos simplificar o denominador:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Então, a expressão fica:
x - 2(x - 2)(x + 2) = 1x + 2 (para x neq 2)
Agora, substituímos x por valores bem próximos de 2 pela direita (como 2,1 ou 2,001):
lim x 2^+ 1x + 2 = 12 + 2 = 14
Então, o limite lateral pela direita é 14.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite lateral pela esquerda, ou seja, quando x se aproxima de 2 vindo de valores menores que 2 ( x 2^-).
Usando a mesma simplificação:
x - 2(x - 2)(x + 2) = 1x + 2
Substituímos x por valores bem próximos de 2 pela esquerda (como 1,9 ou 1,999):
lim x 2^- 1x + 2 = 12 + 2 = 14
Então, o limite lateral pela esquerda também é 14.

Passo 4

Agora que temos os dois limites laterais:
lim x 2^+ x-2x^2-4 = 14
lim x 2^- x-2x^2-4 = 14
Como os dois limites laterais são iguais, o limite total existe e é igual a 14.

Resposta

O limite total da função x-2x^2-4 quando x se aproxima de 2 é 14.

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