Determine os limites laterais e o limite total, se existir:
lim x 5^+ x-5x^2-25 e lim x 5^- x-5x^2-25

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites laterais
limxto5^+x-5x^2-25 e limxto5^-x-5x^2-25, e em seguida verificar se existe o limite total em x=5. O conteúdo é cálculo de limites envolvendo fatoração de polinômios.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^2 - 25 = (x-5)(x+5)
Para xneq5,
x-5x^2-25 = x-5(x-5)(x+5) = 1x+5

Passo 3

A função g(x)=1x+5 é contínua em x=5. Então, para as duas direções de aproximação:
limxto5^+x-5x^2-25 =limxto5^+g(x) =15+5 =110,
limxto5^-x-5x^2-25 =limxto5^-g(x) =15+5 =110

Passo 4

Como os limites laterais coincidem, o limite total em x=5 existe e é igual a tfrac110.

Resposta

limxto5^+x-5x^2-25=110,
limxto5^-x-5x^2-25=110,
limxto5x-5x^2-25=110

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