Um copo de papel em forma de cone circular reto é feito de maneira a conter de água. Ache a altura e o raio do copo que usa a menor quantidade possível de papel.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um copo de papel que é em formato de cone reto e que precisa segurar exatamente de água. Nosso objetivo é descobrir qual deve ser a altura e o raio desse cone para que a quantidade de papel usada seja a menor possível. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria relacionados ao volume e à área de superfície do cone.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que vamos precisar:
Volume do cone:
Onde $ V $ é o volume, $ r $ é o raio da base e $ h $ é a altura.
Área de superfície do cone:
Esta fórmula considera tanto a base do cone quanto a parte lateral, que é a quantidade de papel usada.
Passo 3
Sabemos que o volume $ V $ é . Vamos usar a fórmula do volume para relacionar $ r $ e $ h $:
Vamos isolar $ h $ nessa equação para expressá-la em termos de $ r $:
Passo 4
Agora, queremos minimizar a área de superfície $ A $. Substituindo $ h $ pela expressão que encontramos:
Essa expressão parece complicada, então vamos simplificar para facilitar a derivação.
Passo 5
Para minimizar $ A $, vamos considerar a expressão geral da área do cone:
A
Onde $ l $ é a geratriz do cone, dada por:
A = pi r (r + l)
Substituindo $ h $ pela expressão em termos de $ r $:
l
Passo 6
Agora, vamos derivar a área $ A $ em relação a $ r $ para encontrar o ponto onde a derivada é zero (mínimo):
A
Esse passo envolve cálculo diferencial, onde fazemos a derivada de $ A $ em relação a $ r $, igualamos a zero e resolvemos para $ r $.
Passo 7
Após realizar a derivação e simplificar, encontramos que o raio $ r $ que minimiza a área de superfície está relacionado com a altura $ h $ pela relação:
r
Ou seja, a altura deve ser o dobro do raio para usar a menor quantidade de papel.
Passo 8
Agora, voltamos à equação do volume para encontrar o valor numérico de $ r $:
r
Simplificando:
125 = 13 pi r^2 (2r)
Isolando $ r^3 $:
125 = 23 pi r^3
Calculando $ r $:
r^3
Passo 9
Com o valor de $ r $, encontramos a altura $ h $:
r
Resposta
Para minimizar a quantidade de papel usada no copo de papel em forma de cone que contém 125 , cm^3 de água, a altura deve ser aproximadamente 6,84 , cm e o raio deve ser aproximadamente 3,42 , cm.