Seja Ik=integralgamma cos 2 z(z-pi)^4 k+1 d z, onde gamma é uma curva suave por partes, fechada e simples que contém pi no seu interior e k=0,1,2, ldots, . Mostre que IkIk+1 é um plolinômio do quarto grau em k.

Passo 1

Nesse exercício vamos usar a análise de resíduos para calcular Ik=integralgammacos2z(z-pi)^4k+1,dz. O conteúdo principal é cálculo de resíduos e séries de Taylor de funções analíticas para expressar Ik em termos de derivadas de cos2z em z=pi.

Passo 2

Pelo teorema dos resíduos, como cos2z é inteiro, a única singularidade de ordem 4k+1 está em z=pi, e temos
Ik = 2pi i;Resl(cos2z(z-pi)^4k+1,;z=pir)

Passo 3

Para encontrar esse resíduo, usamos a expansão de Taylor de cos2z em torno de z=pi:
cos2z = sumn=0^inftyan,(z-pi)^n, an=cos^(n)(pi)n!
Como a derivada de ordem n de cos2z satisfaz
d^ndz^ncos2z = 2^ncosl(2z + tfracnpi2r),
segue que em z=pi
cos^(n)(pi)=2^ncosl(ntfracpi2r)

Passo 4

Para n=4k, temos cos(4k,pi/2)=cos(2k,pi)=1, logo
$$\cos{(4k)}(\pi)=2{4k}.
cos^(4k)(pi)=2^4k \mathcal{I}_k = 2\pi i\frac{2^{4k}}{(4k)!}.
Ik = 2pi i2^4k(4k)! á\mathcal{I}_{k+1} = 2\pi i\frac{2^{4k+4}}{(4k+4)!}.$$

Passo 5

Fazendo o quociente, cancelam-se 2pi i e parte das potências de 2, e também se reduz o fatorial:
IkIk+1 = 2^4k/(4k)!2^4k+4/(4k+4)! = (4k+4)!(4k)!,2^4 = (4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+4)16,
que é claramente um polinômio de grau 4 em k.

Resposta

\frac{\mathcal{I}k}{\mathcal{I}{k+1}}=\frac{(4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+4)}{16}.

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