Seja
, onde
é uma curva suave por partes, fechada e simples que contém
no seu interior e
, . Mostre que
é um plolinômio do quarto grau em
.
Passo 1
Nesse exercício vamos usar a análise de resíduos para calcular
. O conteúdo principal é cálculo de resíduos e séries de Taylor de funções analíticas para expressar
em termos de derivadas de
em
.
Passo 2
Pelo teorema dos resíduos, como
é inteiro, a única singularidade de ordem
está em
, e temos
Passo 3
Para encontrar esse resíduo, usamos a expansão de Taylor de
em torno de
:
Como a derivada de ordem
segue que em
Passo 4
Para
, temos
, logo
$$\cos{(4k)}(\pi)=2{4k}.
Passo 5
Fazendo o quociente, cancelam-se
e parte das potências de 2, e também se reduz o fatorial:
que é claramente um polinômio de grau 4 em
.
Resposta
\frac{\mathcal{I}k}{\mathcal{I}{k+1}}=\frac{(4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+4)}{16}.