Seja f: X Y uma função.
Se f é injetiva e X é finito, então Y é finito? Justifique.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função fcolon Xto Y que é injetiva e que X é finito. A pergunta é se isso basta para garantir que Y também seja finito. Para responder, vamos usar conceitos de cardinalidade de conjuntos, imagem de função e propriedades de subconjuntos.

Passo 2

Como f é injetiva, ela estabelece uma bijeção entre X e a imagem de f, que é o conjunto
f(X) = ,f(x)mid xin Xsubseteq Y
Uma bijeção preserva cardinalidades, logo
lvert f(X)rvert ;=;lvert Xrvert
Como X é finito, concluímos que f(X) é finito.

Passo 3

De f(X)subseteq Y segue que
lvert Yrvert ;>=;lvert f(X)rvert
Isso nos diz apenas que Y tem pelo menos lvert Xrvert elementos, mas um conjunto que contém um subconjunto finito pode ser ele próprio finito ou infinito. Não há nada que impeça Y de ter outros elementos além dos que vêm de f(X).

Passo 4

Bastaria dar um contra\mbox{-}exemplo concreto. Tome
X=1,2,3, Y=N,
e defina fcolon Xto Y por
f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3
Então f é injetiva e X é finito, mas Y=N é infinito.

Resposta

Não. A injetividade garante apenas que a imagem f(X) é finita (com lvert f(X)rvert=lvert Xrvert), mas Y pode conter outros elementos e ser infinito.

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