Seja
uma função.
Se
é injetiva e
é finito, então
é finito? Justifique.
Se
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
que é injetiva e que
é finito. A pergunta é se isso basta para garantir que
também seja finito. Para responder, vamos usar conceitos de cardinalidade de conjuntos, imagem de função e propriedades de subconjuntos.
Passo 2
Como
é injetiva, ela estabelece uma bijeção entre
e a imagem de
, que é o conjunto
Uma bijeção preserva cardinalidades, logo
Como
é finito, concluímos que
é finito.
Passo 3
De
segue que
Isso nos diz apenas que
tem pelo menos
elementos, mas um conjunto que contém um subconjunto finito pode ser ele próprio finito ou infinito. Não há nada que impeça
de ter outros elementos além dos que vêm de
.
Passo 4
Bastaria dar um contra\mbox{-}exemplo concreto. Tome
e defina
por
Então
é injetiva e
é finito, mas
é infinito.
Resposta
Não. A injetividade garante apenas que a imagem
é finita (com
), mas
pode conter outros elementos e ser infinito.