Encontre o quociente e o resto para o que se segue:
(x^3-3 x^2+8 x-7) /(2 x-5)

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio
f(x)=x^3-3x^2+8x-7
pelo divisor linear
d(x)=2x-5,
ou seja, encontrar o quociente Q(x) e o resto R tais que
f(x)=(2x-5),Q(x)+R,
com deg R<deg d=1. O conteúdo principal é o Teorema do Resto e a aplicação da divisão de polinômios por fator linear.

Passo 2

Como 2x-5=0 em x=tfrac52, ao substituir esse valor em
f(x)=(2x-5),Q(x)+R
o termo (2x-5),Q(x) zera e sobra
R=fl(tfrac52r)
Calculamos
fl(tfrac52r)=l(tfrac52r)^3-3l(tfrac52r)^2 +8l(tfrac52r)-7 =1258-754+20-7 =798

Passo 3

Agora escrevemos o quociente genérico de grau 2:
Q(x)=a,x^2+b,x+c
Multiplicando pelo divisor e comparando com f(x):
(2x-5)(a x^2+b x+c)+R =2a,x^3+(2b-5a)x^2+(2c-5b)x-5c+R
Devemos ter essa expressão igual a
x^3-3x^2+8x-7

Passo 4

Igualando coeficientes, obtemos o sistema
2a=1, 2b-5a=-3, 2c-5b=8, -5c+R=-7
De 2a=1 segue a=tfrac12.
Substituindo em 2b-5a=-3
2b-tfrac52=-3;Longrightarrow;b=-tfrac14
Em 2c-5b=8 vem
2c+ tfrac54=8;Longrightarrow;c=tfrac278
Por fim, como já achamos R=tfrac798, verifica-se que -5c+R=-7 confere.

Passo 5

Assim o quociente e o resto são
Q(x)=tfrac12x^2-tfrac14x+tfrac278, R=tfrac798

Resposta

Quociente: tfrac12x^2-tfrac14x+tfrac278
Resto: tfrac798

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