Considere as funções
e
, de variável real
, definidas, respectivamente, por
em que
e
são números reais. Se
, então pode-se afirmar sobre a função composta
que:
nunca se anula.
Passo 1
O enunciado dá as funções
e
, pede para usar as condições
para achar
e então analisar se
tem zeros. Vamos usar conceitos de exponencial, logaritmo e solução de equações quadráticas.
Passo 2
Usando
temos
então o expoente é zero e
Passo 3
Com
obtemos
logo
Substituindo
dá
Passo 4
Com
voltando em
segue
Passo 5
Agora
vira
Passo 6
A composição é
Retirando o logaritmo:
Passo 7
Para ver se
zera, resolvemos
O discriminante é
então há duas raízes reais.
Passo 8
Como existem duas soluções reais para
, a afirmação “
nunca se anula” é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa. De fato (g∘f)(x)=x²+3x+2−ln2 e tem duas raízes reais x=\frac{−3±\sqrt{1+4ln2}}{2}.