Considere as funções f e g, de variável real x, definidas, respectivamente, por
f(x)=e^x^2+a x+b e g(x)=ln (a x3 b)
em que a e b são números reais. Se f(-1)=1=f(-2), então pode-se afirmar sobre a função composta (g circ f)(x) que: (g circ f)(x) nunca se anula.

Passo 1

O enunciado dá as funções f(x)=e^x^2+ax+b e g(x)=lnl(ax3br), pede para usar as condições f(-1)=1=f(-2) para achar a,b e então analisar se (gcirc f)(x) tem zeros. Vamos usar conceitos de exponencial, logaritmo e solução de equações quadráticas.

Passo 2

Usando f(-1)=1 temos
1=e^(-1)^2+a(-1)+b=e^1-a+b,
então o expoente é zero e
1 - a + b = 0 Longrightarrow b = a - 1

Passo 3

Com f(-2)=1 obtemos
1 = e^(-2)^2 + a(-2) + b=e^4 - 2a + b,
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4 - 2a + b = 0
Substituindo b = a - 1
4 - 2a + (a - 1) = 0 ; Longrightarrow; 3 - a = 0 ; Longrightarrow; a = 3

Passo 4

Com a=3 voltando em b=a-1 segue
b = 3 - 1 = 2

Passo 5

Agora g(x)=lnl(tfracax3br) vira
g(x)=lnl(3x3cdot2r)=lnl(x2r)

Passo 6

A composição é
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=lnl(f(x)2r)=lnl(e^x^2+3x+22r)
Retirando o logaritmo:
(gcirc f)(x)=x^2+3x+2 - ln 2

Passo 7

Para ver se (gcirc f)(x) zera, resolvemos
x^2+3x+2 - ln 2 = 0
O discriminante é
De 0,
então há duas raízes reais.

Passo 8

Como existem duas soluções reais para (gcirc f)(x)=0, a afirmação “ (gcirc f)(x) nunca se anula” é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa. De fato (g∘f)(x)=x²+3x+2−ln2 e tem duas raízes reais x=\frac{−3±\sqrt{1+4ln2}}{2}.

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