Ache o volume total do espaço compreendido entre o cilindro
e hiperboloide
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que está dentro do cilindro
e cujas faces superior e inferior são dadas pelo hiperboloide
. Vamos usar coordenadas cilíndricas e integração tripla para resolver isso.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas fazemos
,
e
. A região no plano
é
,
. O hiperboloide dá os limites em
:
Passo 3
O volume é então dado por
Passo 4
Integramos primeiro em
, o que traz um fator
. Então
Passo 5
Para calcular
, usamos a substituição
,
. Os limites vão de
a
. Temos:
Passo 6
Substituindo de volta em
, obtemos