Ache o volume total do espaço compreendido entre o cilindro x^2+y^2= a^2 e hiperboloide x^2+y^2-z^2=-a^2 (R: 43 pi a^3(2 raiz2-1))

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está dentro do cilindro x^2+y^2=a^2 e cujas faces superior e inferior são dadas pelo hiperboloide x^2+y^2 - z^2 = -a^2. Vamos usar coordenadas cilíndricas e integração tripla para resolver isso.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos x=r,costheta, y=r,sintheta e z=z. A região no plano xy é 0<= r<= a, 0<= theta<= 2pi. O hiperboloide dá os limites em z:
z = pmraizr^2 + a^2

Passo 3

O volume é então dado por
V = integral0^2piintegral0^aintegral-raizr^2 + a^2^raizr^2 + a^2 r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z, o que traz um fator 2raizr^2 + a^2. Então
V = integral0^2piintegral0^a 2raizr^2 + a^2;r,dr,dtheta = 2cdot2pi integral0^a rraizr^2 + a^2,dr = 4pi integral0^a rraizr^2 + a^2,dr

Passo 5

Para calcular I=integral0^a rraizr^2 + a^2,dr, usamos a substituição u=r^2 + a^2, du=2r,dr. Os limites vão de u(a=0)=a^2 a u(a)=2a^2. Temos:
I = integral0^a rraizr^2 + a^2,dr = 12integrala^2^2a^2 u^1/2,du = 12cdot 23l[u^3/2r]a^2^2a^2 = 13l((2a^2)^3/2 - (a^2)^3/2r) = a^33(2raiz2 -1)

Passo 6

Substituindo de volta em V = 4pi I, obtemos
V = 4pi cdot a^33(2raiz2 -1) = 43pi a^3(2raiz2 -1)

Resposta

43,pi,a^3,(2raiz2-1)

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