Considere o campo de vetores
Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de
através da calota esférica
, onde a orientação de
é dada com campo normal unitário apontando para cima.
Resp.:
.
Resp.:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um campo de vetores definido por:
E precisamos calcular o fluxo desse campo através da calota esférica $ S $ definida por $ z = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} $ com $ z \geq 0 $. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que é uma ferramenta poderosa em cálculo vetorial para relacionar fluxos através de superfícies fechadas com a divergência do campo dentro do volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo de um campo vetorial $ \vec{F} $ através de uma superfície fechada $ S $ é igual à integral da divergência de $ \vec{F} $ sobre o volume $ V $ limitado por $ S $:
No nosso caso, a calota esférica $ S $ não é uma superfície fechada. Para aplicar o teorema, precisamos fechar essa superfície adicionando o disco $ D $ na base da calota onde $ z = 0 $.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de $ \vec{F} $. A divergência de um campo vetorial $ \vec{F} = P \vec{i} + Q \vec{j} + R \vec{k} $ é dada por:
Aplicando isso ao nosso campo:
-
$ P = y - \ln(z^{2} + 1) $
$ \frac{\partial P}{\partial x} = 0 $ (pois $ P $ não depende de $ x $) -
$ Q = y + \arctan(x^{2}) $
$ \frac{\partial Q}{\partial y} = 1 $ (a derivada de $ y $ em relação a $ y $ é 1) -
$ R = z - 1 $
$ \frac{\partial R}{\partial z} = 1 $ (a derivada de $ z $ em relação a $ z $ é 1)
Então:
Passo 4
Agora, usando o Teorema da Divergência, temos:
Queremos encontrar somente o fluxo através da calota esférica $ S $, então vamos isolar essa parte:
Passo 5
Primeiro, calculamos a integral de volume:
O volume $ V $ limitado pela calota esférica de raio 1 (já que $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $) é um hemisfério. O volume de um hemisfério é:
Então:
Passo 6
Agora, precisamos calcular o fluxo através do disco $ D $. No disco $ D $, $ z = 0 $ e o campo normal está apontando para baixo, ou seja, na direção negativa de $ \vec{k} $.
Calculamos $ \vec{F} $ quando $ z = 0 $:
Como $ \ln(1) = 0 $, temos:
O fluxo através de $ D $ é:
Passo 7
Finalmente, substituindo os valores obtidos:
Resposta
O fluxo de $ \vec{F} $ através da calota esférica $ S $ é $ \frac{\pi}{3} $.