Considere o campo de vetores
F(x, y, z)=[y-ln (z^2+1)] i+[y+arctan (x^2)] j+[z-1] k,
Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de F através da calota esférica S: z=raiz1-x^2-y^2, z >= 0, onde a orientação de S é dada com campo normal unitário apontando para cima.
Resp.: pi3.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um campo de vetores definido por:
F(x, y, z)=[y-ln (z^2+1)] i+[y+arctan (x^2)] j+[z-1] k,
E precisamos calcular o fluxo desse campo através da calota esférica $ S $ definida por $ z = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} $ com $ z \geq 0 $. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que é uma ferramenta poderosa em cálculo vetorial para relacionar fluxos através de superfícies fechadas com a divergência do campo dentro do volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo de um campo vetorial $ \vec{F} $ através de uma superfície fechada $ S $ é igual à integral da divergência de $ \vec{F} $ sobre o volume $ V $ limitado por $ S $:
F
No nosso caso, a calota esférica $ S $ não é uma superfície fechada. Para aplicar o teorema, precisamos fechar essa superfície adicionando o disco $ D $ na base da calota onde $ z = 0 $.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de $ \vec{F} $. A divergência de um campo vetorial $ \vec{F} = P \vec{i} + Q \vec{j} + R \vec{k} $ é dada por:
F
Aplicando isso ao nosso campo:
  • $ P = y - \ln(z^{2} + 1) $
    $ \frac{\partial P}{\partial x} = 0 $ (pois $ P $ não depende de $ x $)
  • $ Q = y + \arctan(x^{2}) $
    $ \frac{\partial Q}{\partial y} = 1 $ (a derivada de $ y $ em relação a $ y $ é 1)
  • $ R = z - 1 $
    $ \frac{\partial R}{\partial z} = 1 $ (a derivada de $ z $ em relação a $ z $ é 1)
Então:
F = P i + Q j + R k

Passo 4

Agora, usando o Teorema da Divergência, temos:
integral duplaS F cdot n, dS + integral duplaD F cdot n, dS = integral triplaV 2, dV
Queremos encontrar somente o fluxo através da calota esférica $ S $, então vamos isolar essa parte:
S

Passo 5

Primeiro, calculamos a integral de volume:
O volume $ V $ limitado pela calota esférica de raio 1 (já que $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $) é um hemisfério. O volume de um hemisfério é:
V
Então:
x^2 + y^2 + z^2 = 1

Passo 6

Agora, precisamos calcular o fluxo através do disco $ D $. No disco $ D $, $ z = 0 $ e o campo normal está apontando para baixo, ou seja, na direção negativa de $ \vec{k} $.
Calculamos $ \vec{F} $ quando $ z = 0 $:
D
Como $ \ln(1) = 0 $, temos:
D
O fluxo através de $ D $ é:
z = 0

Passo 7

Finalmente, substituindo os valores obtidos:
integral duplaS F cdot n, dS = 43pi - pi = pi3

Resposta

O fluxo de $ \vec{F} $ através da calota esférica $ S $ é $ \frac{\pi}{3} $.

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