Mostre quais dos seguinte limite existem ou prove que não existem. Justifique sua resposta.
lim (x, y) (4,3) raizx-raizy+1x-y-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que nos foi dado:
lim (x, y) (4,3) raizx-raizy+1x-y-1
Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, que envolve analisar o comportamento da função quando (x, y) se aproxima de (4, 3). Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão e verificar se o limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos (x, y) por (4, 3) diretamente na expressão:
raiz4 - raiz3+14 - 3 - 1 = 2 - 20 = 00
Obtemos uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja:
A = raizx e B = raizy+1
Então, podemos reescrever x e y em termos de A e B:
x = A^2 e y = B^2 - 1
Quando (x, y) (4, 3), temos:
A 2 e B 2

Passo 4

Substituindo A e B na expressão original:
A - BA^2 - (B^2 - 1) - 1 = A - BA^2 - B^2 +1 -1 = A - BA^2 - B^2
Perceba que A^2 - B^2 pode ser fatorado como:
A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)
Então, a expressão fica:
A - B(A - B)(A + B) = 1A + B, desde que A neq B

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando A e B se aproximam de 2:
limA, B 2 1A + B = 12 + 2 = 14
Portanto, o limite existe e é igual a 14.

Resposta

O limite existe e é igual a 14.

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