Mostre quais dos seguinte limite existem ou prove que não existem. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que nos foi dado:
Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, que envolve analisar o comportamento da função quando
se aproxima de
. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão e verificar se o limite existe.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
por
diretamente na expressão:
Obtemos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja:
Então, podemos reescrever
e
em termos de
e
:
Quando
, temos:
Passo 4
Substituindo
e
na expressão original:
Perceba que
pode ser fatorado como:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, calculamos o limite quando
e
se aproximam de 2:
Portanto, o limite existe e é igual a
.
Resposta
O limite existe e é igual a
.