Seja f a função de \mathbb{R} em \mathbb{R} assim definida
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} 1 & \text { se } & x \in \mathbb{Q} \\\ x+1 & \text { se } & x \notin \mathbb{Q} \end{array}\right.
Calcule:
f(3)

Passo 1

O enunciado fornece a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \[f(x)=\begin{cases} 1 & \text{se } x\in\mathbb{Q},\\[4pt] x+1 & \text{se } x\notin\mathbb{Q}. \end{cases}
A pergunta é: calcular f(3)\]. As informações relevantes: a definição por partes da função e o ponto onde queremos avaliar, \(x=3.]

Passo 2

Entender o que significa cada ramo da definição por partes. A função dá dois valores possíveis para f(x), dependendo se x é racional ou irracional:
  • Se x é racional (isto é, x\in\mathbb{Q}), então a função vale 1.
  • Se x é irracional (isto é, x\notin\mathbb{Q}), então a função vale x+1.
Vou explicar o que é número racional de forma bem direta: um número é racional se pode ser escrito como \dfrac{p}{q} com p e q inteiros e q\neq 0. Por exemplo, \dfrac{3}{1} é uma escrita racional do número 3.

Passo 3

Determinar a natureza de 3. Como mostrei, 3 pode ser escrito como
3=\frac{3}{1},
com 3 e 1 inteiros e 1\neq 0. Portanto 3\in\mathbb{Q}: o número 3 é racional.

Passo 4

Escolher o ramo correto da definição por partes. Como 3\in\mathbb{Q}, devemos usar o primeiro caso da definição, que diz que para qualquer número racional x temos f(x)=1.

Passo 5

Aplicar o ramo escolhido ao valor x=3. Substituindo, obtemos
f(3)=1.
Só para fixar a ideia: se em vez de 3 tivéssemos um número irracional, por exemplo x=\sqrt{2} (que não pode ser escrito como fração de inteiros), então usaríamos o segundo ramo e f(\sqrt{2})=\sqrt{2}+1. Isso mostra como a definição por partes funciona na prática.

Resposta

1

Exercícios relacionados