Responda:
A função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} tem a propriedade: f(m \cdot x)=m \cdot f(x) para m \in \mathbb{R} e x \in \mathbb{R}. Calcule f(0).

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} que satisfaz, para todos m\in\mathbb{R} e x\in\mathbb{R},
f(m\cdot x)=m\cdot f(x).
A pergunta é: calcular f(0).
Lista das informações relevantes: o domínio e contradomínio são \mathbb{R} e a propriedade acima vale para quaisquer m e x reais.

Passo 2

Vamos usar a propriedade dada fazendo uma substituição simples: tomar m=0. Como a propriedade vale para todo m\in\mathbb{R}, essa escolha é permitida. Substituindo m=0 na igualdade obtemos, para qualquer x,
f(0\cdot x)=0\cdot f(x).

Passo 3

Observe que 0\cdot x=0 para todo x. Portanto a expressão do passo anterior fica
f(0)=0\cdot f(x).

Passo 4

O produto 0\cdot f(x) é igual a 0 (independente de f(x)). Logo, da igualdade do passo anterior segue que, para qualquer x,
f(0)=0.
Note que não depende do x: a afirmação é que o valor f(0) é igual a zero.

Passo 5

(se você quiser uma prova alternativa, curta e útil) Outra abordagem é tomar x=0 na propriedade original: para todo m tem-se
f(m\cdot 0)=m\cdot f(0).
Como m\cdot 0=0, isto dá f(0)=m\cdot f(0) para todo m. Escolhendo, por exemplo, m=2, obtemos f(0)=2\cdot f(0), o que implica f(0)=0. Essa forma reforça a conclusão.

Resposta

f(0)=0

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