Responda:
As funções
e
cujas leis de correspondência são
e
podem ser iguais? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá duas funções:
e
A pergunta é: as duas funções podem ser iguais? Listei as informações relevantes que temos: as expressões das duas funções e que ambas usam radiciação, o que impõe restrições nos valores de
. A partir daqui precisamos descobrir os domínios de cada função e comparar valores quando ambas estão definidas.
Passo 2
Vamos achar o domínio de
. A função
tem a forma
. Para essa raiz quadrada estar definida (no conjunto dos números reais) é necessário que o argumento da raiz seja não negativo e que o denominador não seja zero. Ou seja, exigimos
Para resolver
fazemos análise de sinais. Os pontos críticos da fração são
(denominador zero) e
(numerador zero). Dividimos a reta em intervalos pelas raízes
e
:
- Para
: e , então . - Para
: e , então (não permitido). - Para
: e , então .
No ponto
a fração vale
, que é permitido dentro da raiz. Em
a expressão é indefinida (denominador zero). Portanto o domínio de
é
Passo 3
Agora o domínio de
. A expressão é
. Para
ser real precisamos
, ou seja
. Para
ser real precisamos
, ou seja
. Ambas condições devem valer, então a interseção dá
. Além disso, para o denominador não ser zero, precisaríamos
, mas para
temos
, logo
e não há problema. Portanto
Passo 4
Comparando domínios:
e
. Como os domínios não são iguais,
e
não podem ser iguais como funções (duas funções são iguais apenas se tiverem o mesmo domínio e, para todo
nesse domínio, os mesmos valores).
No entanto, elas podem coincidir em parte do domínio comum. A interseção dos domínios é
. Vamos verificar a igualdade das expressões para
. Para
temos
e
, portanto podemos usar a propriedade das raízes:
Aplicando com
e
(valores não negativos para
), obtemos
para todo
. Logo, em
as duas expressões coincidem.
Passo 5
Mostro um exemplo que ilustra a diferença: escolha
. Então
enquanto
é indefinido porque
não é real. Isso confirma que
está definida para valores onde
não está, portanto as funções não são iguais.
Resposta
Não;
e
. Elas coincidem em
(onde
vale), mas não são iguais como funções porque
está definida também em
onde
não está.