Responda:
As funções f e g cujas leis de correspondência são
f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}} e g(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}} podem ser iguais? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá duas funções:
f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}
e
g(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}.
A pergunta é: as duas funções podem ser iguais? Listei as informações relevantes que temos: as expressões das duas funções e que ambas usam radiciação, o que impõe restrições nos valores de x. A partir daqui precisamos descobrir os domínios de cada função e comparar valores quando ambas estão definidas.

Passo 2

Vamos achar o domínio de f. A função f tem a forma \sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}. Para essa raiz quadrada estar definida (no conjunto dos números reais) é necessário que o argumento da raiz seja não negativo e que o denominador não seja zero. Ou seja, exigimos
\frac{x-1}{x+1}\ge 0\qquad\text{e}\qquad x\neq -1.
Para resolver \dfrac{x-1}{x+1}\ge 0 fazemos análise de sinais. Os pontos críticos da fração são x=-1 (denominador zero) e x=1 (numerador zero). Dividimos a reta em intervalos pelas raízes -1 e 1:
  • Para x>1: x-1>0 e x+1>0, então \dfrac{x-1}{x+1}>0.
  • Para -1<x<1: x-1<0 e x+1>0, então \dfrac{x-1}{x+1}<0 (não permitido).
  • Para x<-1: x-1<0 e x+1<0, então \dfrac{x-1}{x+1}>0.
No ponto x=1 a fração vale 0, que é permitido dentro da raiz. Em x=-1 a expressão é indefinida (denominador zero). Portanto o domínio de f é
\mathrm{dom}(f)=(-\infty,-1)\cup[1,\infty).

Passo 3

Agora o domínio de g. A expressão é \dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}. Para \sqrt{x-1} ser real precisamos x-1\ge 0, ou seja x\ge 1. Para \sqrt{x+1} ser real precisamos x+1\ge 0, ou seja x\ge -1. Ambas condições devem valer, então a interseção dá x\ge 1. Além disso, para o denominador não ser zero, precisaríamos \sqrt{x+1}\neq 0, mas para x\ge 1 temos x+1\ge 2, logo \sqrt{x+1}>0 e não há problema. Portanto
\mathrm{dom}(g)=[1,\infty).

Passo 4

Comparando domínios: \mathrm{dom}(f)=(-\infty,-1)\cup[1,\infty) e \mathrm{dom}(g)=[1,\infty). Como os domínios não são iguais, f e g não podem ser iguais como funções (duas funções são iguais apenas se tiverem o mesmo domínio e, para todo x nesse domínio, os mesmos valores).
No entanto, elas podem coincidir em parte do domínio comum. A interseção dos domínios é [1,\infty). Vamos verificar a igualdade das expressões para x\ge 1. Para x\ge 1 temos x-1\ge 0 e x+1>0, portanto podemos usar a propriedade das raízes:
\text{se }A\ge 0\text{ e }B>0\text{ então }\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}.ã
Aplicando com A=x-1 e B=x+1 (valores não negativos para x\ge 1), obtemos
\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}
para todo x\ge 1. Logo, em [1,\infty) as duas expressões coincidem.

Passo 5

Mostro um exemplo que ilustra a diferença: escolha x=-2\in(-\infty,-1). Então
f(-2)=\sqrt{\frac{-2-1}{-2+1}}=\sqrt{\frac{-3}{-1}}=\sqrt{3},
enquanto g(-2) é indefinido porque \sqrt{-2-1}=\sqrt{-3} não é real. Isso confirma que f está definida para valores onde g não está, portanto as funções não são iguais.

Resposta

Não; \mathrm{dom}(f)=(-\infty,-1)\cup[1,\infty) e \mathrm{dom}(g)=[1,\infty). Elas coincidem em [1,\infty) (onde \sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}=\dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}} vale), mas não são iguais como funções porque f está definida também em (-\infty,-1) onde g não está.

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