1. Seja a função F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), dada por \[F(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}-16}{\operatorname{sen}(x-4)}, & x \neq 4 \\\ k, & x=4\end{cases}
Qual o valor que k deve assumir para que a função F seja contínua em (\mathrm{x}=4] ?

Passo 1

O enunciado define a função
F(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}-16}{\operatorname{sen}(x-4)}, & x \neq 4,\\[0.5em] k, & x=4, \end{cases}
e pede o valor de k que torna F contínua em x=4. Para isso, precisamos calcular
\lim_{x\to4}\frac{x^{2}-16}{\operatorname{sen}(x-4)}
e igualar esse limite a k.]

Passo 2

Substituindo x=4 no quociente, vemos que o numerador e o denominador se anulam:
4^{2}-16=0 \quad\text{e}\quad \operatorname{sen}(4-4)=\operatorname{sen}(0)=0,
logo é uma forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Pela Regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
– Derivada do numerador x^{2}-16 é 2x.
– Derivada do denominador \operatorname{sen}(x-4) é \cos(x-4).
Logo
\lim_{x\to4}\frac{x^{2}-16}{\operatorname{sen}(x-4)} =\lim_{x\to4}\frac{2x}{\cos(x-4)}.

Passo 4

Agora avaliamos em x=4:
\frac{2\cdot4}{\cos(4-4)} =\frac{8}{\cos(0)} =\frac{8}{1} =8.
Para continuidade, k deve ser igual a esse limite.

Resposta

k=8

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