1. Seja a função g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), definida por \[g(x)= \begin{cases}x^{2}+x-1, & x<-2 \\\\ 2, & x=-2 \\\ x^{2}+\frac{4}{x}, & x>-2\end{cases}
Existe o limite \lim _{\mathrm{x} \rightarrow-2} \mathrm{~g}(\mathrm{x})\] ? A função é contínua em \(\mathrm{x}=-2 ?

Passo 1

O enunciado nos dá a função g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \[g(x)= \begin{cases} x^{2}+x-1, & x<-2,\\\\ 2, & x=-2,\\\ x^{2}+\frac{4}{x}, & x>-2, \end{cases}
e pede para verificar se existe \lim_{x\to -2}g(x)\] e, em seguida, se \(g é contínua em x=-2. Vamos calcular os limites laterais e usar a definição de continuidade.

Passo 2

Calculamos o limite pela esquerda:
\lim_{x\to -2^-}g(x)=\lim_{x\to -2^-}(x^2+x-1)=(-2)^2+(-2)-1=4-2-1=1.

Passo 3

Calculamos o limite pela direita:
\lim_{x\to -2^+}g(x)=\lim_{x\to -2^+}\Bigl(x^2+\frac{4}{x}\Bigr)=(-2)^2+\frac{4}{-2}=4-2=2.

Passo 4

Como os limites laterais são diferentes 1\neq2, concluímos que
\lim_{x\to -2}g(x)
não existe.

Passo 5

Para que g fosse contínua em x=-2, precisaríamos ter \lim_{x\to -2}g(x)=g(-2)=2. Como o limite não existe, g não é contínua em x=-2.

Resposta

Não existe \lim_{x\to -2}g(x) e a função g não é contínua em x=-2.

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