Seja a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, dada por f(x)=x^{2}+x-3, então calcule os seguintes limites.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
para a função f(x)=x^2+x-3. Esse limite é justamente a definição de derivada de um polinômio, então vamos aplicar a diferença de quadrados e simplificar passo a passo.

Passo 2

Começamos expandindo f(x+h). Como
f(x+h)=(x+h)^2+(x+h)-3,
temos
f(x+h)=x^2+2xh+h^2+x+h-3.

Passo 3

Agora formamos a diferença f(x+h)-f(x). Sabendo que f(x)=x^2+x-3, obtemos
f(x+h)-f(x)=(x^2+2xh+h^2+x+h-3)-(x^2+x-3)=2xh+h^2+h.

Passo 4

Dividimos essa expressão por h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{2xh+h^2+h}{h}=2x+h+1.

Passo 5

Por fim, tomamos o limite quando h\to0:
\lim_{h\to0}(2x+h+1)=2x+1.

Resposta

\displaystyle 2x+1

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