Use um método adequado e resolva as integrais abaixo:
integral 18 tg^2(x) sec ^2(x)2+tg^3(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 18,tan^2(x)sec^2(x)2+tan^3(x),dx.
Perceba que o denominador é 2+tan^3(x) e o numerador contém tan^2(x)sec^2(x), cuja derivada de tan^3(x) é 3tan^2(x)sec^2(x). Então usaremos substituição.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 2 + tan^3(x)
Diferenciando,
du = 3,tan^2(x)sec^2(x),dx,
isto é,
tan^2(x)sec^2(x),dx = 13,du

Passo 3

Reescrevendo o numerador em função de u:
18,tan^2(x)sec^2(x),dx = 18 times 13,du = 6,du
Logo a integral vira
integral 18,tan^2(x)sec^2(x)2+tan^3(x),dx = integral 6,duu

Passo 4

Calculamos a integral em u:
6integral duu = 6lnl|ur| + C

Passo 5

Voltando à variável x, com u = 2 + tan^3(x), obtemos
6lnl|2 + tan^3(x)r| + C

Resposta

6lnl|2+tan^3(x)r| + C

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