Seja f a função quadrática definida por f(x)=m x^2+2 x+1, m neq 0. Determine m para que a função admita um valor máximo em x=1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função quadrática f(x) = m x^2 + 2x + 1 e precisamos encontrar o valor de m que faz com que essa função tenha um valor máximo quando x = 1 . Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, especificamente sobre o vértice da parábola que representa a função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem a forma f(x) = a x^2 + b x + c . O gráfico dessa função é uma parábola. Se a > 0 , a parábola abre pra cima e tem um mínimo. Se a < 0 , ela abre pra baixo e tem um máximo. No nosso caso, queremos que a função tenha um máximo, então sabemos que m (que corresponde ao a ) precisa ser negativo.

Passo 3

Agora, vamos achar o vértice da parábola, que é o ponto onde a função atinge o máximo ou o mínimo. A coordenada x do vértice é dada pela fórmula:
xv = -b2a
No nosso caso, a = m e b = 2 . A questão diz que o máximo ocorre em x = 1 , então:
1 = -22m

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar m . Começamos multiplicando ambos os lados por 2m para eliminar a fração:
1 times 2m = -2
2m = -2

Passo 5

Agora, isolamos m dividindo ambos os lados por 2:
m = -22
m = -1

Resposta

O valor de m que faz a função ter um valor máximo em x = 1 é m = -1 .

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