Seja g(x) uma função real, derivável até a 3^a ordem para todo x real, tal que g(0)=g^prime(0)=0 e g^prime prime(0)=16. Se f(x) é uma função real definida por f(x)=cg(x)2 x se x neq 0 0 se x=0, então f^prime(0) é igual a: 0

Passo 1

O problema dá uma função g diferenciável até a 3ª ordem com g(0)=0, g′(0)=0 e g″(0)=16, e define f(x)=g(x)/(2x) (x≠0) e f(0)=0. Queremos f′(0), usando conceito de derivada e expansão de Taylor.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de Taylor de g em torno de x=0 até a 3ª ordem:
g(x)=g(0)+g'(0)x+g''(0)2x^2+g'''(0)6x^3+o(x^3)
Substituindo g(0)=0, g’(0)=0 e g’’(0)=16, obtemos
g(x)=8x^2+g'''(0)6x^3+o(x^3)

Passo 3

Para x≠0, f(x)=g(x)/(2x). Logo
f(x)=8x^2+g'''(0)6x^3+o(x^3)2x =4x+g'''(0)12x^2+o(x^2)

Passo 4

A derivada em 0 é dada por
f'(0)=limxto0f(x)-f(0)x=limxto0f(x)x
Substituindo a expansão de f(x):
4x+g'''(0)12x^2+o(x^2)x=4+g'''(0)12x+o(x)

Passo 5

Fazendo x→0, o termo que depende de x some, restando f′(0)=4.

Resposta

4

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