Seja
uma função real, derivável até a
ordem para todo x real, tal que
e
. Se
é uma função real definida por
, então
é igual a: 0
Passo 1
O problema dá uma função g diferenciável até a 3ª ordem com g(0)=0, g′(0)=0 e g″(0)=16, e define f(x)=g(x)/(2x) (x≠0) e f(0)=0. Queremos f′(0), usando conceito de derivada e expansão de Taylor.
Passo 2
Aplicamos a fórmula de Taylor de g em torno de x=0 até a 3ª ordem:
Substituindo g(0)=0, g’(0)=0 e g’’(0)=16, obtemos
Passo 3
Para x≠0, f(x)=g(x)/(2x). Logo
Passo 4
A derivada em 0 é dada por
Substituindo a expansão de f(x):
Passo 5
Fazendo x→0, o termo que depende de x some, restando f′(0)=4.
Resposta
4