Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} e^{y / x} d x d y.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral \displaystyle \int_{0}^{1}\int_{y}^{1} e^{y/x}\,dx\,dy
e pede para esboçar a região de integração e trocar a ordem. O conteúdo é mudança de ordem em integrais duplas: primeiro identificamos a região R no plano (x,y) e depois expressamos os novos limites.

Passo 2

Descrevemos a região R por
R = \{(x,y)\mid 0 \le y \le 1,\;y \le x \le 1\}
Em um esboço, R é o triângulo no primeiro quadrante limitado pelas retas y=0, x=1 e x=y, com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1).

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, fixamos primeiro x. No triângulo R, x vai do mínimo 0 ao máximo 1. Para cada x em [0,1], y varia do menor valor 0 até a reta y=x.

Passo 4

Assim, a integral com a ordem trocada fica
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x} e^{y/x}\,dy\,dx

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{0}^{x} e^{y/x}\,dy\,dx

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