Seja uma função f:(0,+infty) longrightarrow R uma função que satisfaz:
(i) f não é identicamente nula.
(ii) f(x y)=f(x)+f(y), para todo x, y in(0,+infty)
Mostre que:
(a) f(1)=0
(b) f(1x)=-f(x), para todo x in(0,+infty).
(c) f(xy)=f(x)-f(y), para todos x, y in(0,+infty).
(d) f(x^r)=r f(x), para todo r in N e todo $x \in(0,+\infty).

Passo 1

A questão pede para mostrar quatro propriedades de uma função f:(0,+∞)→ℝ que satisfaz a equação funcional multiplicativa f(xy)=f(x)+f(y), lembrando que f não é identicamente zero. Vamos usar ideias de homomorfismo de grupos e indução para provar cada item.

Passo 2

Como princípio geral, uma função que leva produto em soma é um homomorfismo do grupo multiplicativo (0,+∞) para o grupo aditivo ℝ. Vamos explorar a identidade do grupo e inversos.

Passo 3

Para (a), note que 1 é o elemento neutro da multiplicação. Como 1·1=1, aplicamos f e usamos a equação funcional:
f(1)=f(1cdot1)=f(1)+f(1)
Subtraindo f(1) dos dois lados, obtemos f(1)=0.

Passo 4

Para (b), usamos que o inverso multiplicativo de x é 1/x, pois x·(1/x)=1. Aplicando f temos
f(x)+f(1/x)=f(xcdot(1/x))=f(1)=0
Assim, f(1/x)=-f(x).

Passo 5

Para (c), escrevemos x/y = xcdot(1/y). Então
f(x/y)=fl(xcdot(1/y)r)=f(x)+f(1/y)
Pelo item (b), f(1/y)=-f(y), logo f(x/y)=f(x)-f(y).

Passo 6

Para (d), vamos mostrar por indução em r∈ℕ que f(x^r)=r f(x):
Base r=1: f(x^1)=f(x)=1cdot f(x), ok.
Passo indutivo: suponha f(x^k)=k f(x). Então
f(x^k+1)=f(x^kcdot x)=f(x^k)+f(x)=k f(x)+f(x)=(k+1)f(x)
Assim a fórmula vale para todo r∈ℕ.

Passo 7

Com isso, todos os itens pedidos estão provados.

Resposta

As propriedades obtidas são: f(1)=0, f(1/x)=-f(x), f(x/y)=f(x)-f(y) e f(x^r)=r f(x) para todo r∈ℕ.

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