Seja uma função
uma função que satisfaz:
(i)
não é identicamente nula.
(ii)
, para todo
Mostre que:
(a)
(b)
, para todo
.
(c)
, para todos
.
(d)
, para todo
e todo $x \in(0,+\infty).
(i)
(ii)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
A questão pede para mostrar quatro propriedades de uma função f:(0,+∞)→ℝ que satisfaz a equação funcional multiplicativa f(xy)=f(x)+f(y), lembrando que f não é identicamente zero. Vamos usar ideias de homomorfismo de grupos e indução para provar cada item.
Passo 2
Como princípio geral, uma função que leva produto em soma é um homomorfismo do grupo multiplicativo (0,+∞) para o grupo aditivo ℝ. Vamos explorar a identidade do grupo e inversos.
Passo 3
Para (a), note que 1 é o elemento neutro da multiplicação. Como 1·1=1, aplicamos f e usamos a equação funcional:
Subtraindo f(1) dos dois lados, obtemos f(1)=0.
Passo 4
Para (b), usamos que o inverso multiplicativo de x é 1/x, pois x·(1/x)=1. Aplicando f temos
Assim,
.
Passo 5
Para (c), escrevemos
. Então
Pelo item (b),
, logo
.
Passo 6
Para (d), vamos mostrar por indução em r∈ℕ que
:
Base r=1: , ok.
Passo indutivo: suponha . Então
Base r=1:
Passo indutivo: suponha
Assim a fórmula vale para todo r∈ℕ.
Passo 7
Com isso, todos os itens pedidos estão provados.
Resposta
As propriedades obtidas são: f(1)=0, f(1/x)=-f(x), f(x/y)=f(x)-f(y) e f(x^r)=r f(x) para todo r∈ℕ.