Determine se as funções abaixo são injetivas, justificando suas afirmações:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a função f: ℝ²→ℝ², definida por f(x,y)=(x+y, 2x+y), é injetiva. Esse é um problema de Álgebra Linear: vamos usar o fato de que f é uma transformação linear e verificar se seu núcleo é trivial ou se a matriz associada é invertível.
Passo 2
Observamos que f é uma transformação linear cuja matriz, em relação à base canônica, é
Lembre-se: uma transformação linear é injetiva se e somente se o núcleo contém só o vetor zero, ou equivalentemente se A é invertível.
Passo 3
Método 1 – núcleo trivial: resolvemos f(x,y)=(0,0), isto é
Subtraindo a primeira equação da segunda temos
Substituindo em x+y=0 dá y=0. Então o único vetor que vai para zero é (0,0), logo o núcleo é trivial e f é injetiva.
Passo 4
Método 2 – determinante não nulo: calculamos
Como o determinante de A é diferente de zero, A é invertível, o que também garante que f é injetiva.
Resposta
A função f é injetiva.