Determine se as funções abaixo são injetivas, justificando suas afirmações:
f: R^2 R^2, f(x, y)=(x+y, 2 x+y)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a função f: ℝ²→ℝ², definida por f(x,y)=(x+y, 2x+y), é injetiva. Esse é um problema de Álgebra Linear: vamos usar o fato de que f é uma transformação linear e verificar se seu núcleo é trivial ou se a matriz associada é invertível.

Passo 2

Observamos que f é uma transformação linear cuja matriz, em relação à base canônica, é
A=1 & 12 & 1
Lembre-se: uma transformação linear é injetiva se e somente se o núcleo contém só o vetor zero, ou equivalentemente se A é invertível.

Passo 3

Método 1 – núcleo trivial: resolvemos f(x,y)=(0,0), isto é
x+y=02x+y=0
Subtraindo a primeira equação da segunda temos
(2x+y)-(x+y)=0implies x=0
Substituindo em x+y=0 dá y=0. Então o único vetor que vai para zero é (0,0), logo o núcleo é trivial e f é injetiva.

Passo 4

Método 2 – determinante não nulo: calculamos
det A=1cdot1-2cdot1=-1neq0
Como o determinante de A é diferente de zero, A é invertível, o que também garante que f é injetiva.

Resposta

A função f é injetiva.

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