Seja 
  uma função que satisfaz 
  e 
 . Determine 
  sabendo que 
  é um número inteiro.
Passo 1
Vamos lá! Temos uma função 
  definida como uma integral com limites que dependem de 
 . A derivada dessa função é dada por uma expressão polinomial. Para resolver esse exercício, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a derivar funções definidas por integrais. Precisamos encontrar os valores reais de 
 , 
 , 
  e 
 , sabendo que 
  é um número inteiro.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a função 
 :
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de 
  é:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas dos limites:
Substituindo de volta na expressão de 
 :
Passo 4
Lembrando que 
 , temos:
Substituindo essas expressões:
Simplificando:
Passo 5
Sabemos que 
 . Então, igualando as duas expressões:
Para que as expressões sejam iguais para todo 
 , os expoentes e os coeficientes devem ser iguais. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo as equações passo a passo:
- De 
:  
- Substituindo 
em :  
- Com 
, encontramos :  
- Finalmente, já temos 
.  
Resposta
Os valores são: