Uma xícara de café quente irá, com o tempo, esfriar até a temperatura ambiente. O princípio da física que rege o processo é a Lei do Resfriamento de Newton. Essa situação pode ser traduzida na seguinte equação diferencial
d Td t(t)=-0,08(T(t)-A)
onde T(t) é a temperatura do objeto no tempo t e A é a temperatura ambiente. Assumindo que a temperatura ambiente é de 22^circ C. Depois de 1 min que o café ficou pronto, a temperatura do café é de 62^circ C. O que você pode dizer sobre a taxa de variação da temperatura do café depois de 1 min ? Use a reta tangente no ponto (1,62) para fazer uma estimativa da temperatura do café depois de 2 min que ele ficou pronto.

Passo 1

O enunciado mostra um resfriamento segundo a Lei de Newton, dada por dTdt=-0,08l(T(t)-Ar) com A=22,^circC. Sabemos que em t=1 min temos T(1)=62,^circC. Vamos usar isso para achar a taxa de variação da temperatura nesse instante e depois montar a reta tangente em (1,62).

Passo 2

Para calcular a taxa de variação em t=1, avaliamos a derivada:
T'(1)=-0,08l(T(1)-22r)=-0,08,(62-22)=-0,08times40=-3,2,^circC/min
Isto significa que, após 1 minuto, o café está esfriando a cerca de 3,2,^circC por minuto.

Passo 3

A aproximação linear (reta tangente) em (1,62) é dada por:
T(t)approx T(1)+T'(1),(t-1)=62-3,2,(t-1)

Passo 4

Para estimar a temperatura em t=2, basta substituir t=2 na reta:
T(2)approx62-3,2,(2-1)=62-3,2=58,8,^circC

Resposta

A taxa de variação em 1 min é de aproximadamente -3,2 °C/min, e a estimativa da temperatura após 2 min é 58,8 °C.

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