Seja f uma função tal que
lll x^5-4 x^4+3 x^3+2 x^2-4 x <= f(x) <= x^4-4 x^3+x^2+4 x-4 & para & x<-1 x^4-4 x^3+x^2+4 x-4 <= f(x) <= x^5-4 x^4+3 x^3+2 x^2-4 x & para & x>-1
Determine os limites abaixo, caso seja possível.
lim x 3 f(x).

Passo 1

O enunciado diz que existe uma função f tal que, para x>-1, vale
x^4-4x^3+x^2+4x-4;<=;f(x);<=;x^5-4x^4+3x^3+2x^2-4x
Queremos limxto3f(x). A ideia é usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem) aproveitando que os dois polinômios são contínuos.

Passo 2

Denotemos
g(x)=x^4-4x^3+x^2+4x-4, h(x)=x^5-4x^4+3x^3+2x^2-4x
Para xto3 (e 3>-1) temos
g(3)=3^4-4cdot3^3+3^2+4cdot3-4 =81-108+9+12-4=-10,
h(3)=3^5-4cdot3^4+3cdot3^3+2cdot3^2-4cdot3 =243-324+81+18-12=6

Passo 3

Pela desigualdade g(x)<= f(x)<= h(x) válida em torno de x=3, ao passar ao limite temos
limxto3g(x)=-10 e limxto3h(x)=6,
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-10;<=;liminfxto3f(x) e limsupxto3f(x);<=;6
Como -10neq6, o Teorema do Confronto não garante um único valor para limxto3f(x).

Resposta

O limite limxto3f(x) não existe.

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