Use as proposições vistas em aula para encontrar a transformada de Laplace das seguintes funções
y(t)=e^-t / 2 cos t / 2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
y(t)=e^-t/2cosl(tfrac t2r)
O conteúdo usado será a transformada de Laplace de cos(omega t) e a propriedade de deslocamento na variável s para fatores exponenciais.

Passo 2

Lembrando que
Lcos(omega t)(s)=ss^2+omega^2,
para omega=tfrac12 temos
F(s)=Lcos(tfrac t2)(s)=ss^2+tfrac14

Passo 3

A propriedade de deslocamento diz que, se Lf(t)(s)=F(s), então
Le^a tf(t)(s)=F(s-a)
Aqui a=-tfrac12, pois e^-t/2=e^(-tfrac12)t.

Passo 4

Aplicando smapsto s- a=s+tfrac12 em F(s)=tfracss^2+1/4, obtemos
Le^-t/2cos(tfrac t2)(s) =s+tfrac12(s+tfrac12)^2+tfrac14
Podemos ainda expandir o denominador:
(s+tfrac12)^2+tfrac14 =s^2+s+tfrac12

Resposta

Le^-t/2cos(tfrac t2)(s) =s+tfrac12s^2+s+tfrac12

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