Encontre a solução da seguinte EDO não homogênea
y^prime prime(t)+6 y^prime(t)-7 y(t)=3 e^2 t-e^-t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é não homogênea. A equação que temos é:
y''(t) + 6 y'(t) - 7 y(t) = 3 e^2 t - e^-t
Aqui, o conteúdo envolve Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de segunda ordem e não homogêneas. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y''(t) + 6 y'(t) - 7 y(t) = 0
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma y(t) = e^rt, onde r é uma constante que precisamos encontrar. Substituindo na equação homogênea:
r^2 e^rt + 6 r e^rt - 7 e^rt = 0
Podemos dividir todos os termos por e^rt (que nunca é zero):
r^2 + 6 r - 7 = 0
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver para encontrar os valores de r.

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática r^2 + 6 r - 7 = 0. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
Aqui, a = 1, b = 6 e c = -7. Substituindo:
r = -6 pm raiz36 + 282 = -6 pm raiz642 = -6 pm 82
Então, temos duas soluções:
r1 = -6 + 82 = 1 r2 = -6 - 82 = -7

Passo 4

Com os valores de r encontrados, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t = C1 e^t + C2 e^-7 t
Aqui, C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, mas como não temos essas condições no enunciado, deixamos assim.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
y''(t) + 6 y'(t) - 7 y(t) = 3 e^2 t - e^-t
Observamos que o lado direito da equação tem duas funções exponenciais: 3 e^2 t e -e^-t. Vamos encontrar a solução particular para cada uma delas separadamente e depois somar.

Passo 6

Primeiro, consideramos a parte 3 e^2 t. Suponhamos uma solução particular do tipo:
yp1(t) = A e^2 t
Derivando:
yp1'(t) = 2 A e^2 t yp1''(t) = 4 A e^2 t
Substituindo na equação:
4 A e^2 t + 6 cdot 2 A e^2 t - 7 A e^2 t = 3 e^2 t (4 A + 12 A - 7 A) e^2 t = 3 e^2 t 9 A e^2 t = 3 e^2 t
Igualando os coeficientes:
9 A = 3 Rightarrow A = 13
Então, temos:
yp1(t) = 13 e^2 t

Passo 7

Agora, vamos considerar a parte -e^-t. Suponhamos uma solução particular do tipo:
yp2(t) = B e^-t
Derivando:
yp2'(t) = -B e^-t yp2''(t) = B e^-t
Substituindo na equação:
B e^-t + 6 (-B e^-t) - 7 B e^-t = - e^-t (B - 6 B - 7 B) e^-t = - e^-t (-12 B) e^-t = - e^-t
Igualando os coeficientes:
-12 B = -1 Rightarrow B = 112
Então, temos:
yp2(t) = 112 e^-t

Passo 8

A solução particular total é a soma das duas soluções particulares encontradas:
yp(t) = yp1(t) + yp2(t) = 13 e^2 t + 112 e^-t

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial não homogênea é a soma da solução geral da homogênea com a solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t + C2 e^-7 t + 13 e^2 t + 112 e^-t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^t + C2 e^-7 t + 13 e^2 t + 112 e^-t
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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