Encontre a solução da seguinte EDO não homogênea
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é não homogênea. A equação que temos é:
Aqui, o conteúdo envolve Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente de segunda ordem e não homogêneas. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar. Substituindo na equação homogênea:
Podemos dividir todos os termos por
(que nunca é zero):
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver para encontrar os valores de
.
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Então, temos duas soluções:
Passo 4
Com os valores de
encontrados, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, mas como não temos essas condições no enunciado, deixamos assim.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Observamos que o lado direito da equação tem duas funções exponenciais:
e
. Vamos encontrar a solução particular para cada uma delas separadamente e depois somar.
Passo 6
Primeiro, consideramos a parte
. Suponhamos uma solução particular do tipo:
Derivando:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então, temos:
Passo 7
Agora, vamos considerar a parte
. Suponhamos uma solução particular do tipo:
Derivando:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então, temos:
Passo 8
A solução particular total é a soma das duas soluções particulares encontradas:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial não homogênea é a soma da solução geral da homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.