Use as proposições vistas em aula para encontrar a transformada de Laplace das seguintes funções
y(t)=cos 3 t sinh 8 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
y(t)=cos(3t),sinh(8t)
O conteúdo que vamos usar é a linearidade da transformada e a propriedade de deslocamento (fator exponencial) no domínio do tempo.

Passo 2

Usamos a definição de seno hiperbólico em termos de exponenciais:
sinh(8t)=e^8t-e^-8t2
Substituindo em y(t) obtemos
y(t)=cos(3t),e^8t-e^-8t2 =12l(e^8tcos(3t)-e^-8tcos(3t)r)

Passo 3

Aplicando a linearidade da transformada de Laplace,
Ly(t) =12l(Le^8tcos(3t)-Le^-8tcos(3t)r)

Passo 4

Lembrando a propriedade de deslocamento no domínio do tempo:
Le^atcos(omega t) =s-a(s-a)^2+omega^2,
vamos aplicar com (a,omega)=(8,3) e depois com (a,omega)=(-8,3).

Passo 5

Para a=8 e omega=3:
Le^8tcos(3t) =s-8(s-8)^2+3^2 =s-8(s-8)^2+9
Para a=-8 e omega=3:
Le^-8tcos(3t) =s-(-8)(s+8)^2+9 =s+8(s+8)^2+9
Substituindo de volta em Ly(t) temos a resposta final.

Resposta

L,cos(3t)sinh(8t) =12(s-8(s-8)^2+9;-;s+8(s+8)^2+9)

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