1 Seja f: R R uma função tal que f(1)=3, f(raiz3)=2 e f(x+y)=f(x) f(y), para todos x, y in R. Calcule f(3+2 raiz3).

Passo 1

O enunciado define uma função f:RtoR que satisfaz
f(x+y)=f(x),f(y)
para todos x,y, e dá os valores f(1)=3 e f(raiz3)=2. O conteúdo aqui é reconhecer que f é multiplicativa sobre soma, o que nos permite calcular f em somas de argumentos conhecidos.

Passo 2

Da relação f(x+y)=f(x)f(y) com x=y=0 vem
f(0)=f(0+0)=f(0),f(0)implies f(0)=1

Passo 3

Para inteiros positivos n usamos recursivamente
f(n)=f(1+1+cdots+1)=underbracef(1),f(1)cdots f(1)n vezes=3^n
Em particular,
f(3)=3^3=27

Passo 4

Para 2raiz3 notamos que
f(2raiz3)=f(raiz3+raiz3)=f(raiz3),f(raiz3)=2cdot2=4

Passo 5

Finalmente, usando a aditividade no argumento,
f(3+2raiz3)=f(3),f(2raiz3)=27cdot4=108

Resposta

108

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