Seja a função
& f: I R^2 times I R^2 M(1,1) & ((x1, y1),(x2, y2)) [x1, y1][ll 1 & 1 1 & 2 ][l x2 y2 ]
Mostrar que f é um produto interno em IR² e calcular:
A norma do vetor (1,3);
Um vetor unitário a partir de (1,3);
Um vetor ortogonal a (1,3).

Passo 1

O enunciado define
Queremos mostrar que satisfaz as três propriedades de produto interno em (bilinearidade, simetria e positividade definida) e depois usar essa definição para calcular
  1. a norma de ,
  2. um vetor unitário na direção de ,
  3. um vetor ortogonal a .

Passo 2

Verificamos as propriedades de produto interno:
  1. Bilinearidade em cada argumento: como com fixo, é linear em e em .
  2. Simetria: como
é simétrica, temos
  1. Positividade definida: para ,
e essa soma só é zero se e , o que implica . Logo somente para .

Passo 3

A norma induzida por f é
|u|=raizf(u,u)
Para u=(1,3) calculamos
fl((1,3),(1,3)r) =1 & 3 1 & 11 & 2 13 =4 & 7 13 =4cdot1+7cdot3=25
Portanto
|(1,3)|=raiz25=5

Passo 4

Um vetor unitário na direção de (1,3) é
1|(1,3)|(1,3)=l(tfrac15,tfrac35r)

Passo 5

Para encontrar um vetor ortogonal a basta resolver
Uma solução não nula é , pois .

Resposta

Norma de (1,3): 5.
Vetor unitário em sua direção: l(tfrac15,tfrac35r).
Um vetor ortogonal a (1,3): (7,-4).

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