Seja V um espaço vetorial real. Nos itens abaixo, determine se o subconjunto W é um subespaço de V.
(c) W=(x, y, z) in R^3 mid y=-x, z=2 x
(d) W=(x, y, z) in R^3|z=|x|

Passo 1

O enunciado está em R^3 e pede para cada W verificar se é subespaço vetorial.
Conteúdo: para um subconjunto Wsubseteq V ser subespaço, precisamos checar três propriedades:
  1. 0in W.
  2. Fechamento em soma: se u,vin W, então u+vin W.
  3. Fechamento em escalar: se uin W e lambdainR, então lambda uin W.

Passo 2

Item (c):
W=(x,y,z)inR^3mid y=-x, z=2x
Qualquer vetor de W tem forma
(x,y,z)=(x,,-x,,2x)=x,(1,,-1,,2)
Logo
W=;x,(1,-1,2)mid xinR=Span(1,-1,2)
Esse é claramente um subespaço unidimensional (contém 0 quando x=0, fechado em soma e em múltiplo escalar).

Passo 3

Item (d):
W=(x,y,z)inR^3mid z=|x|
Verificamos o fechamento em escalar: tome, por exemplo,
u=(1,0,1)in W(pois |1|=1)
Se lambda=-1, então
lambda u=(-1,0,-1)
Mas em lambda u teríamos x'=-1 e z'=-1, e para estar em W precisaríamos z'=|x'|=1. Como -1neq1, lambda unotin W.
Logo falta fechamento em escalar e W não é subespaço.

Resposta

(c) W é subespaço de R^3.
(d) W não é subespaço de R^3.

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