Seja f uma função que faz corresponder a cada par de vetores v=(a1, b1), w=(a2, b2) em R^2 um número real f(v, w). [Noutras palavras, tem-se uma função f: R^2 times R^2 R.] Suponha que f tem as seguintes propriedades para quaisquer v, v^prime, w in R^2 e alpha in R :
(a) f(v, w)=-f(w, v);
(b) f(v+v^prime, w)=f(v, w)+f(v^prime, w);
(c) f(alpha v, w)=alpha cdot f(v, w);
(d) se v=(1,0) e w=(0,1) então f(v, w)=1.
Prove que f(v, w)=a1 b2-a2 b1.

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação bilinear antissimétrica
;f:R^2timesR^2toR, com as propriedades
  1. ;f(v,w)=-f(w,v),
  2. ;f(v+v',w)=f(v,w)+f(v',w),
  3. ;f(alpha v,w)=alpha,f(v,w),
  4. ;f((1,0),(0,1))=1.
    O conteúdo é identificar que f coincide com o determinante em R^2. Para provar isso, vamos (i) estender a bilinearidade também ao segundo argumento usando a antissimetria, (ii) escrever vetores na base canônica e (iii) usar a bilinearidade completa.

Passo 2

Mostramos que f é aditiva em cada argumento. Já temos aditividade em v. Para o segundo argumento, use antissimetria e aditividade em v:
f(v,w+w') =-f(w+w',v) =-l(f(w,v)+f(w',v)r) =f(v,w)+f(v,w')
Analogamente, para alphainR,
f(v,alpha w) =-f(alpha w,v) =-alpha,f(w,v) =alpha,f(v,w)
Logo, f é bilinear nos dois argumentos.

Passo 3

Seja a base canônica ,e1=(1,0), e2=(0,1). Escrevemos
v=a1e1+b1e2, w=a2e1+b2e2

Passo 4

Pela bilinearidade total,
f(v,w) =f(a1e1+b1e2,;a2e1+b2e2)
=;a1a2,f(e1,e1) ;+;a1b2,f(e1,e2) ;+;b1a2,f(e2,e1) ;+;b1b2,f(e2,e2)

Passo 5

Usamos agora a antissimetria e a condição de normalização:
  • De f(e1,e1)=-f(e1,e1) segue f(e1,e1)=0.
  • De f(e2,e2)=-f(e2,e2) segue f(e2,e2)=0.
  • Dado f(e1,e2)=1 (hipótese), antissimetria dá f(e2,e1)=-1.

Passo 6

Substituindo esses valores na expansão obtemos
f(v,w) =a1a2cdot0 + a1b2cdot1 + b1a2cdot(-1) + b1b2cdot0 =a1b2 - a2b1

Resposta

f(v,w)=a1b2-a2b1

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