Seja
uma função que faz corresponder a cada par de vetores
em
um número real
. [Noutras palavras, tem-se uma função
.] Suponha que
tem as seguintes propriedades para quaisquer
e
:
(a)
;
(b)
;
(c)
;
(d) se
e
então
.
Prove que
.
(b)
(c)
(d) se
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação bilinear antissimétrica
, com as propriedades
-
, -
, -
, -
.
O conteúdo é identificar quecoincide com o determinante em . Para provar isso, vamos (i) estender a bilinearidade também ao segundo argumento usando a antissimetria, (ii) escrever vetores na base canônica e (iii) usar a bilinearidade completa.
Passo 2
Mostramos que
é aditiva em cada argumento. Já temos aditividade em
. Para o segundo argumento, use antissimetria e aditividade em
:
Analogamente, para
,
Logo,
é bilinear nos dois argumentos.
Passo 3
Seja a base canônica
,
. Escrevemos
Passo 4
Pela bilinearidade total,
Passo 5
Usamos agora a antissimetria e a condição de normalização:
- De
segue . - De
segue . - Dado
(hipótese), antissimetria dá .
Passo 6
Substituindo esses valores na expansão obtemos