Verifique se as transformações dadas a seguir são lineares:
T3: R^3 longrightarrow R, T3(x, y, z)=2 x-3 y+4 z

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a transformação
T3colon R^3longrightarrowR, T3(x,y,z)=2x-3y+4z
e queremos verificar se ela é linear. Para isso vamos usar a definição: T é linear se e somente se, para quaisquer vetores u,vinR^3 e escalar c, valem
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade)
  2. T(c,u)=c,T(u) (homogeneidade)

Passo 2

Verificação da aditividade. Sejam
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2)
Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
e
T3(u+v) =2(x1+x2)-3(y1+y2)+4(z1+z2)
Distribuindo,
T3(u+v) =(2x1-3y1+4z1)+(2x2-3y2+4z2) =T3(u)+T3(v)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja um escalar cinR e um vetor u=(x,y,z). Então
c,u=(c,x,;c,y,;c,z)
e
T3(c,u) =2(c,x)-3(c,y)+4(c,z) =c,(2x-3y+4z) =c,T3(x,y,z)

Resposta

A transformação T3 satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é linear.

Exercícios relacionados