Seja a função
dada por
Desenhe o conjunto
, onde
;
Desenhe o conjunto
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a imagem pelo mapeamento polar–cartesiano φ(θ,ρ)=(x,y) de B={(θ,ρ)∈ℝ|0≤ρ≤2,0≤θ≤2π}. O conteúdo aqui é coordenadas polares e precisamos entender como o retângulo em (θ,ρ) vira uma região no plano xy.
Passo 2
Para um ρ fixo em [0,2], à medida que θ varia de 0 a 2π, o ponto φ(θ,ρ)=(ρ cosθ,ρ sinθ) descreve uma circunferência de raio ρ centrada na origem, pois qualquer ponto satisfaz x²+y²=ρ².
Passo 3
Quando deixamos ρ variar de 0 até 2, estamos “empilhando” todas as circunferências de raio entre 0 e 2, o que preenche exatamente o disco de raio 2.
Passo 4
Portanto, φ(B) é o disco fechado de raio 2 no plano xy. Para desenhar, basta traçar o círculo de raio 2 centrado na origem e sombrear sua região interna.
Resposta
φ(B) = { (x,y)∈ℝ² | x² + y² ≤ 4 }, ou seja, o disco fechado de raio 2 centrado na origem.