Seja a função varphi(theta, rho)=(x, y) dada por lx=rho cos theta y=rho sin theta
Desenhe o conjunto varphi(B), onde B(theta, rho) in R mid 0 <= rho <= 2,0 <= theta <= 2 pi;

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a imagem pelo mapeamento polar–cartesiano φ(θ,ρ)=(x,y) de B={(θ,ρ)∈ℝ|0≤ρ≤2,0≤θ≤2π}. O conteúdo aqui é coordenadas polares e precisamos entender como o retângulo em (θ,ρ) vira uma região no plano xy.

Passo 2

Para um ρ fixo em [0,2], à medida que θ varia de 0 a 2π, o ponto φ(θ,ρ)=(ρ cosθ,ρ sinθ) descreve uma circunferência de raio ρ centrada na origem, pois qualquer ponto satisfaz x²+y²=ρ².

Passo 3

Quando deixamos ρ variar de 0 até 2, estamos “empilhando” todas as circunferências de raio entre 0 e 2, o que preenche exatamente o disco de raio 2.

Passo 4

Portanto, φ(B) é o disco fechado de raio 2 no plano xy. Para desenhar, basta traçar o círculo de raio 2 centrado na origem e sombrear sua região interna.

Resposta

φ(B) = { (x,y)∈ℝ² | x² + y² ≤ 4 }, ou seja, o disco fechado de raio 2 centrado na origem.

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