Sejam \vec{F}(t)=\left(t, 2, t^{2}\right) e \vec{G}(t)=(t,-1,1). Calcule:
e^{-t} \vec{F}(t)

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções vetoriais (em função de t) e pede para calcular o produto de escalares e^{-t} por \vec{F}(t). Os dados fornecidos são:
  • \vec{F}(t)=\left(t,\,2,\,t^{2}\right).
  • A expressão a calcular é e^{-t}\vec{F}(t).

Passo 2

Lembrete sobre multiplicação de um escalar por um vetor (regra que vou usar): se a é um escalar e \vec{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}) é um vetor, então o produto escalar é feito componente a componente:
a\vec{v}=(a v_{1},\; a v_{2},\; a v_{3}).
Aqui a é um número (ou função de t) que multiplica cada componente do vetor. Não tem mistério: multiplica-se cada entrada do vetor pelo mesmo escalar.

Passo 3

Aplicando essa regra com a=e^{-t} e \vec{v}=\vec{F}(t)=\left(t,\,2,\,t^{2}\right), multiplica-se e^{-t} por cada componente:
e^{-t}\vec{F}(t)=\bigl(e^{-t}\cdot t,\; e^{-t}\cdot 2,\; e^{-t}\cdot t^{2}\bigr).

Passo 4

Escrevendo de forma mais arrumada (colocando o fator exponencial ao lado de cada componente ou fatorando-o):
e^{-t}\vec{F}(t)=\bigl(t e^{-t},\; 2 e^{-t},\; t^{2} e^{-t}\bigr)
ou equivalentemente
e^{-t}\vec{F}(t)=e^{-t}\bigl(t,\,2,\,t^{2}\bigr).
Ambas as formas são corretas e mostram o mesmo resultado.

Passo 5

Para fixar a ideia, dois exemplos simples:
  • Se t=0, então e^{-0}=1 e
e^{-0}\vec{F}(0)=\bigl(0\cdot1,\;2\cdot1,\;0^{2}\cdot1\bigr)=(0,\,2,\,0).
  • Se t=1, então e^{-1} aparece em todas as componentes:
e^{-1}\vec{F}(1)=\bigl(1\cdot e^{-1},\;2\cdot e^{-1},\;1^{2}\cdot e^{-1}\bigr)=\bigl(e^{-1},\,2e^{-1},\,e^{-1}\bigr).

Resposta

\bigl(t e^{-t},\; 2 e^{-t},\; t^{2} e^{-t}\bigr)

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