Sejam \vec{F}(t)=\left(t, 2, t^{2}\right) e \vec{G}(t)=(t,-1,1). Calcule:
\vec{F}(t)-2 \vec{G}(t)

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções-vetor dependentes de t:
  • \vec{F}(t)=\left(t,\,2,\,t^{2}\right).
  • \vec{G}(t)=\left(t,\,-1,\,1\right).
A tarefa é calcular a expressão \vec{F}(t)-2\vec{G}(t). Ou seja, quer-se subtrair o vetor 2\vec{G}(t) do vetor \vec{F}(t).

Passo 2

Vamos lembrar duas regras básicas de operações com vetores em coordenadas:
  • Multiplicação escalar: se c é um número e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então c\vec{v}=(c v_1,\,c v_2,\,c v_3). Explicando: cada componente do vetor é multiplicada pelo escalar.
  • Subtração de vetores: se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então \vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1,\,a_2-b_2,\,a_3-b_3). Explicando: subtrai-se componente a componente.
Essas são regras elementares e vêm direto da definição de operações em \mathbb{R}^3. Não tem mistério: trabalha-se componente a componente.

Passo 3

Primeiro calculemos 2\vec{G}(t) aplicando a regra da multiplicação escalar:
2\vec{G}(t)=2\bigl(t,\,-1,\,1\bigr)=\bigl(2t,\,-2,\,2\bigr).
Aqui multipliquei cada componente de \vec{G}(t) por 2: 2\cdot t=2t, 2\cdot(-1)=-2, 2\cdot 1=2.

Passo 4

Agora subtrairemos componente a componente:
\vec{F}(t)-2\vec{G}(t)=\bigl(t,\,2,\,t^{2}\bigr)-\bigl(2t,\,-2,\,2\bigr).
Aplicando a subtração componente a componente obtemos:
\bigl(t-2t,\;2-(-2),\;t^{2}-2\bigr).
Agora simplificamos cada componente:
  • t-2t = -t.
  • 2-(-2)=2+2=4.
  • t^{2}-2 já está simplificado.

Passo 5

Portanto, o resultado final da operação é o vetor cujas componentes são essas simplificações. Fica claro e direto de aplicar na prova: primeiro escala, depois subtrai componente a componente — prática e sem erro. Força aí, você já mandou bem acompanhando passo a passo!

Resposta

\left(-t,\,4,\,t^{2}-2\right)

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