Seja a função vetorial r(t)=(sen t, t, cost), com t >= 0, o vetor posição de uma partícula no espaço, no instante t. Determinar o instante (ou os instantes) em que os vetores velocidade e aceleração são ortogonais.

Passo 1

Temos uma partícula cuja posição é dada por r(t) = (sin t,,t,,cos t) e queremos achar os instantes em que os vetores velocidade e aceleração são ortogonais. Isso envolve dois conceitos principais: cálculo de derivadas de cada componente da função vetorial e uso do produto escalar para testar ortogonalidade.

Passo 2

Para obter o vetor velocidade v(t) e o vetor aceleração a(t), calculamos as derivadas de r(t). Aplicando a regra de derivação componente a componente, temos:
v(t)=r'(t)=(cos t,,1,,-sin t)
a(t)=r''(t)=(-sin t,,0,,-cos t)

Passo 3

Para testar ortogonalidade, usamos a definição de produto escalar em R^3: dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar entre eles for zero. Calculamos
v(t)cdot a(t)=cos t,(-sin t)+1cdot 0+(-sin t)(-cos t)=-cos tsin t+sin tcos t=0

Passo 4

Como o produto escalar v(t)cdot a(t) é identicamente zero para todo t, concluímos que os vetores velocidade e aceleração são ortogonais em qualquer instante considerado (desde que t>=0, domínio dado).

Resposta

Os vetores velocidade e aceleração são ortogonais para todo instante t>=0.

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