Seja a função vetorial
, com
, o vetor posição de uma partícula no espaço, no instante
. Determinar o instante (ou os instantes) em que os vetores velocidade e aceleração são ortogonais.
Passo 1
Temos uma partícula cuja posição é dada por
e queremos achar os instantes em que os vetores velocidade e aceleração são ortogonais. Isso envolve dois conceitos principais: cálculo de derivadas de cada componente da função vetorial e uso do produto escalar para testar ortogonalidade.
Passo 2
Para obter o vetor velocidade
e o vetor aceleração
, calculamos as derivadas de
. Aplicando a regra de derivação componente a componente, temos:
Passo 3
Para testar ortogonalidade, usamos a definição de produto escalar em
: dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar entre eles for zero. Calculamos
Passo 4
Como o produto escalar
é identicamente zero para todo
, concluímos que os vetores velocidade e aceleração são ortogonais em qualquer instante considerado (desde que
, domínio dado).
Resposta
Os vetores velocidade e aceleração são ortogonais para todo instante
.