Use o teorema do Sanduíche para provar os seguintes limites
lim (x, y) (0,0) cos (x y) x^6+2 y^63 x^4+4 y^4 0

Passo 1

Estamos querendo calcular lim(x,y)to(0,0) f(x,y), onde
f(x,y)=cos(xy)x^6+2y^63x^4+4y^4
O conteúdo envolve o Teorema do Sanduíche e estimativas de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para todo (x,y), vale |cos(xy)|<=1. Isso nos dá uma desigualdade inicial:
|f(x,y)|=|cos(xy)x^6+2y^63x^4+4y^4|<=1cdotx^6+2y^63x^4+4y^4

Passo 3

Agora precisamos estimar
x^6+2y^63x^4+4y^4
por algo que tenda a zero. Vamos separar em dois termos:
x^63x^4+4y^4+2y^63x^4+4y^4

Passo 4

Note que
x^63x^4+4y^4<=x^63x^4=x^23,
e
y^63x^4+4y^4<=y^64y^4=y^24
Portanto
x^6+2y^63x^4+4y^4<=x^23+2cdoty^24=x^23+y^22

Passo 5

Como (x,y)to(0,0) implica x^2/3+y^2/2to0, concluímos por Sanduíche que
f(x,y)to0
e, logo, .

Resposta

0

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