Seja a função:
z=F(x, y)=1x^2+y^2-3
Faça o que se pede:
d) (0,4 pts) Determine a equação do plano tangente no ponto P(2,1,1 / 2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a Fx(x, y) = partial Fpartial x = -2x(x^2 + y^2 - 3)^2 :
Fy(x, y) = partial Fpartial y = -2y(x^2 + y^2 - 3)^2
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto x^2 + y^2 - 3 = 2^2 + 1^2 - 3 = 4 + 1 - 3 = 2 . Primeiro, calculamos o denominador:
Fx(2, 1) = -2 times 22^2 = -44 = -1
Então:
Fy(2, 1) = -2 times 12^2 = -24 = -0,5

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, usamos a fórmula do plano tangente:
z = z0 + Fx(x0, y0)(x - x0) + Fy(x0, y0)(y - y0)
Onde z = 12 + (-1)(x - 2) + (-0,5)(y - 1) é o ponto de tangência, que no caso é .
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano tangente é:
z = -x - 0,5,y + 3

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