Dado um PVI do tipo
y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=g(t), y(t0)=y0, y^prime(t0)=y0^prime,
onde p(t), q(t) e g(t) são funções contínuas em um intervalo aberto I subset R contendo o ponto t0 (ou seja, t0 in I ), existe um teorema de existência e unicidade que garante a existência de exatamente uma solução y=phi(t) para o problema. O teorema garante também que o domínio da solução é, no mínimo, o próprio intervalo I. Sabendo disso, determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI através do teorema de existência e unicidade. Não tente resolver explicitamente as equações.
(a) t y^prime prime+3 y=t,
(b) (t-1) y^prime prime-3 t y^prime+4 y= sen t, y(1)=1, y^prime(1)=2
© t(t-4) y^prime prime+3 t^prime+4 y=sen t, y(0)=0, y^prime(0)=2
(d) y^prime prime+(cos t) y^prime+3(ln |t|) y=0, y(2)=2, y^prime(2)=1
(e) (x-3) y^prime prime+x y^prime+(ln |x|) y=0, y(2)=3, y^prime(2)=1

Passo 1

A ideia geral vem do teorema de existência e unicidade para equações lineares de segunda ordem: se escrevemos a equação como a(t)y''+b(t)y'+c(t)y=g(t), o teorema garante solução única num intervalo aberto contendo t0 sempre que a,b,c,g são contínuas e a(t0)neq0. O domínio da solução é o maior intervalo em que essas condições valem.
Para cada caso, identificamos a(t), verificamos onde a(t)neq0 e onde b(t)/a(t),c(t)/a(t),g(t)/a(t) são contínuas, e então escolhemos o maior intervalo aberto que contenha o ponto inicial (se houver).

Passo 2

(a) Temos a(t)=t, b(t)=0, c(t)=3, g(t)=t. A condição a(t)neq0 força tneq0, e as demais funções são contínuas sempre que tneq0. Sem ponto inicial dado, os maiores intervalos são (-infty,0) e (0,infty)

Passo 3

(b) Aqui (a(t)=t-1$ e o ponto inicial é e o ponto inicial é . Como Como , não podemos aplicar o teorema logo no ponto inicial, logo não há intervalo garantido.

Passo 4

© Agora a(t)=t(t-4) e t0=0. Como a(0)=0, de novo falha a hipótese de a(t0)neq0, não há intervalo garantido.

Passo 5

(d) A equação já está normalizada com a(t)=1, p(t)=cos t, q(t)=3ln|t|. As funções são contínuas para tneq0 e o ponto inicial é t0=2>0. O maior intervalo contendo 2 onde tudo é contínuo é (0,infty).

Passo 6

(e) Aqui a(x)=x-3, b(x)=x, c(x)=ln|x|, com x0=2. Temos a(2)neq0 e b/a,,c/a contínuas desde que xneq0,3. O maior intervalo que contém 2 e evita 0 e 3 é (0,3).

Resposta

(a) (-,0) e ; (b) nenhum intervalo (o coeficiente anula em (0,u00e)); © nenhum intervalo (o coeficiente anula em t0=1); (d) ; (e) t0=0.

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