Dado um PVI do tipo
,
onde
e
são funções contínuas em um intervalo aberto
contendo o ponto
(ou seja,
), existe um teorema de existência e unicidade que garante a existência de exatamente uma solução
para o problema. O teorema garante também que o domínio da solução é, no mínimo, o próprio intervalo I. Sabendo disso, determine em cada caso abaixo o maior intervalo possível no qual podemos garantir a existência de uma única solução para o PVI através do teorema de existência e unicidade. Não tente resolver explicitamente as equações.
(a)
,
(b)
sen
,
©
,
(d)
,
(e)
,
onde
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
A ideia geral vem do teorema de existência e unicidade para equações lineares de segunda ordem: se escrevemos a equação como
, o teorema garante solução única num intervalo aberto contendo
sempre que
são contínuas e
. O domínio da solução é o maior intervalo em que essas condições valem.
Para cada caso, identificamos , verificamos onde
e onde
são contínuas, e então escolhemos o maior intervalo aberto que contenha o ponto inicial (se houver).
Para cada caso, identificamos
Passo 2
(a) Temos
,
,
,
. A condição
força
, e as demais funções são contínuas sempre que
. Sem ponto inicial dado, os maiores intervalos são
e
Passo 3
(b) Aqui (a(t)=t-1$ e o ponto inicial é
. Como
, não podemos aplicar o teorema logo no ponto inicial, logo não há intervalo garantido.
Passo 4
© Agora
e
. Como
, de novo falha a hipótese de
, não há intervalo garantido.
Passo 5
(d) A equação já está normalizada com
,
,
. As funções são contínuas para
e o ponto inicial é
. O maior intervalo contendo 2 onde tudo é contínuo é
.
Passo 6
(e) Aqui
,
,
, com
. Temos
e
contínuas desde que
. O maior intervalo que contém 2 e evita 0 e 3 é
.
Resposta
(a)
e ; (b) nenhum intervalo (o coeficiente anula em
); © nenhum intervalo (o coeficiente anula em
); (d) ; (e)
.