Considere o grupo multiplicativo (
), onde
a) Determine o inverso de cada elemento de (
b) Determine a ordem de cada elemento de
c)
é cíclico? Justifique sua resposta.
b) Determine a ordem de cada elemento de
c)
Passo 1
O enunciado quer que a gente trabalhe no grupo multiplicativo mod 10, ou seja
cujos elementos são {\overline{1},\overline{3},\overline{7},\overline{9}}. Precisamos encontrar (a) o inverso de cada elemento, (b) a ordem de cada elemento e © decidir se o grupo é cíclico. Para isso usaremos conceitos de inverso no anel
, definição de ordem de um elemento em grupo e a ideia de gerador ciclico.
Passo 2
Para achar o inverso de um elemento
em
, resolvemos a congruência
procurando
tal que o produto dê 1 módulo 10. Fazendo isso:
- Para
, logo . - Para
, logo . - Para
, logo . - Para
, logo .
Passo 3
A ordem de um elemento
é o menor
tal que
. Calculando:
-
: já , então . -
: a sequência é nos expoentes , então e nenhuma potência menor dá 1, logo . -
: similarmente para expoentes , logo . -
: , , então .
Passo 4
Um grupo de ordem 4 é cíclico se existir elemento de ordem 4. Aqui
(e também
) tem ordem 4, portanto gera todo o grupo. Logo
é cíclico.
Resposta
a)
b)
c) Sim, é cíclico (por exemplo,
gera o grupo).