Considere o grupo multiplicativo ( Z10^times, cdot ), onde
Z10^times=bara in Z10 ; m d c(a, 10)=1=1, 3, 7, 9
a) Determine o inverso de cada elemento de ( Z10^times, cdot)
b) Determine a ordem de cada elemento de (Z10^times, cdot)
c) (Z10^times, cdot) é cíclico? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado quer que a gente trabalhe no grupo multiplicativo mod 10, ou seja l(Z10^times,cdotr) cujos elementos são {\overline{1},\overline{3},\overline{7},\overline{9}}. Precisamos encontrar (a) o inverso de cada elemento, (b) a ordem de cada elemento e © decidir se o grupo é cíclico. Para isso usaremos conceitos de inverso no anel Zn, definição de ordem de um elemento em grupo e a ideia de gerador ciclico.

Passo 2

Para achar o inverso de um elemento a em Z10^times, resolvemos a congruência a,xequiv1pmod10 procurando x tal que o produto dê 1 módulo 10. Fazendo isso:
  • Para 1:1cdot1equiv1pmod10, logo (1)^-1=1.
  • Para 3:3cdot7=21equiv1pmod10, logo (3)^-1=7.
  • Para 7:7cdot3=21equiv1pmod10, logo (7)^-1=3.
  • Para 9:9cdot9=81equiv1pmod10, logo (9)^-1=9.

Passo 3

A ordem de um elemento a é o menor k>0 tal que a^kequiv1pmod10. Calculando:
  • 1: já 1^1=1, então ord(1)=1.
  • 3: a sequência é 3,9,7,1 nos expoentes 1,2,3,4, então 3^4equiv1 e nenhuma potência menor dá 1, logo ord(3)=4.
  • 7: similarmente 7,9,3,1 para expoentes 1,2,3,4, logo ord(7)=4.
  • 9: 9^1=9, 9^2=81equiv1, então ord(9)=2.

Passo 4

Um grupo de ordem 4 é cíclico se existir elemento de ordem 4. Aqui 3 (e também 7) tem ordem 4, portanto gera todo o grupo. Logo l(Z10^times,cdotr) é cíclico.

Resposta

a) (1)^-1=1,;(3)^-1=7,;(7)^-1=3,;(9)^-1=9 b) ord(1)=1,;ord(3)=4,;ord(7)=4,;ord(9)=2 c) Sim, é cíclico (por exemplo, 3 gera o grupo).

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