Seja
um grupo cíclico de ordem 10, gerado por
. Determine todos os geradores de
. (1,0 ponto)
Passo 1
O enunciado diz que temos um grupo cíclico
de ordem 10, gerado por
. O conteúdo é teoria de grupos cíclicos e vamos precisar saber como caracterizar todos os geradores de um grupo cíclico de ordem
.
Passo 2
Em teoria de grupos cíclicos, se
tem ordem
, então os elementos que também geram
são exatamente
tais que
. O número desses geradores é dado por
, onde
é a função totiente de Euler.
Passo 3
Aqui
. Precisamos listar todos os inteiros
entre 1 e 9 que satisfazem
. Os divisores comuns de
e 10 devem ser apenas 1.
Passo 4
Calculando
para
, vemos que apenas para
a condição é satisfeita. Logo, os geradores são
.
Resposta
Os geradores de
são
.