Seja (G, cdot) um grupo cíclico de ordem 10, gerado por a. Determine todos os geradores de (G, cdot). (1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado diz que temos um grupo cíclico (G,cdot) de ordem 10, gerado por a. O conteúdo é teoria de grupos cíclicos e vamos precisar saber como caracterizar todos os geradores de um grupo cíclico de ordem n.

Passo 2

Em teoria de grupos cíclicos, se G=lang<= arang<= tem ordem n, então os elementos que também geram G são exatamente a^k tais que gcd(k,n)=1. O número desses geradores é dado por varphi(n), onde varphi é a função totiente de Euler.

Passo 3

Aqui n=10. Precisamos listar todos os inteiros k entre 1 e 9 que satisfazem gcd(k,10)=1. Os divisores comuns de k e 10 devem ser apenas 1.

Passo 4

Calculando gcd(k,10) para k=1,2,3,4,5,6,7,8,9, vemos que apenas para k=1,3,7,9 a condição é satisfeita. Logo, os geradores são a^1,a^3,a^7,a^9.

Resposta

Os geradores de (G,cdot) são a,,a^3,,a^7,,a^9.

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