Seja G um conjunto munido de uma operação binária *. Dizemos que a \in G é um elemento idempotente para * se a * a=a.
(a) Suponhamos que * seja associativa. Mostre que * é anti-comutativa se, e somente se, a * a=a e a * b * a=a, para todos a, b \in G.
(b) Mostre se * é associativa e anti-comutativa, então a * b * c=a * c, para todos a, b, c \in G. (Sugestão: Considere a * b * c * a * c.)

Passo 1

O enunciado dá um conjunto G com uma operação binária *. Define-se que a\in G é idempotente se a * a = a. Há duas partes:
(a) Supondo que * é associativa, provar a equivalência: * é anti-comutativa se, e somente se, para todos a,b\in G valem
a*a = a
e
a*b*a = a.
(b) Supondo que * é associativa e anti-comutativa, mostrar que para todos a,b,c\in G
a*b*c = a*c.
Antes de começar, preciso explicitar qual definição de “anti-comutativa” vou usar (essa é a definição padrão usada aqui): \emph{a operação * é anti-comutativa} significa
\text{se } x*y = y*x \text{ então } x = y,ã
para todos x,y\in G. Ou seja, sempre que dois elementos comutar (o produto nas duas ordens é igual) eles são iguais. Vou trabalhar com essa definição ao longo da resolução.

Passo 2

Vamos provar a direção "se * é anti-comutativa então a*a=a e a*b*a=a para todos a,b". Vou mostrar cada identidade separadamente, explicando passo a passo.
Primeiro, mostro que a*a = a para todo a.
  • Pelo que significa associatividade: para quaisquer a, temos
a*(a*a) = (a*a)*a.
Isto é simplesmente reescrever (a*a)*a e a*(a*a); por associatividade não há ambiguidade na ordem de aplicação e as duas expressões coincidem. Assim, os dois produtos a com a*a (nas duas ordens) são iguais, isto é a*(a*a) = (a*a)*a. Em outras palavras, a e a*a comutam.
  • Aplicando a definição de anti-comutatividade: se dois elementos comutam então eles são iguais. Como a e a*a comutam, concluímos a = a*a. Assim, para todo a\in G vale
a*a = a,
ou seja, todos os elementos são idempotentes. (Explicação didática: associatividade nos dá a igualdade do produto nas duas ordens; anti-comutatividade transforma essa igualdade de produtos em igualdade dos fatores.)
Agora, mostro que a*b*a = a para todos a,b.
  • Considere os elementos a e (a*b)*a. Calcule a*((a*b)*a) e ((a*b)*a)*a. Usando associatividade:
a*((a*b)*a) = (a*(a*b))*a = ((a*a)*b)*a
e
((a*b)*a)*a = (a*b)*(a*a).
Mas já provamos que a*a = a. Substituindo a*a=a em cada expressão obtém-se
a*((a*b)*a) = ((a*a)*b)*a = (a*b)*a,
e
((a*b)*a)*a = (a*b)*(a*a) = (a*b)*a.
Assim a*((a*b)*a) = ((a*b)*a)*a, ou seja, a e (a*b)*a comutam.
  • Aplicando anti-comutatividade (comutação implica igualdade), obtemos
a = (a*b)*a.
Mas (a*b)*a é exatamente a*b*a (notação sem parênteses, pela associatividade). Portanto
a*b*a = a,
para todos a,b\in G.
Resumo desta direção: a associatividade nos permitiu identificar pares que comutam; a hipótese de anti-comutatividade transforma essa comutação em igualdade dos elementos, produzindo as identidades pedidas.

Passo 3

Agora provamos a direção contrária: se, para todos a,b\in G, a*a = a e a*b*a = a, então * é anti-comutativa (i. e., se x*y = y*x então x = y). Novamente, vou fazer passo a passo e explicar o raciocínio.
Sejam x,y\in G tais que
x*y = y*x.
Queremos provar x = y.
  1. Multiplico a igualdade x*y = y*x à direita por x. Pela associatividade:
(x*y)*x = (y*x)*x.
Avalio cada lado usando as hipóteses:
  • O lado esquerdo é (x*y)*x = x*y*x. Pela hipótese a*b*a = a (com a:=x, b:=y) temos x*y*x = x.
  • O lado direito é (y*x)*x = y*(x*x). Pela hipótese x*x = x temos y*(x*x) = y*x. Usando a igualdade inicial y*x = x*y não é ainda necessário; basta observar que (y*x)*x = y*x.
Assim a igualdade (x*y)*x = (y*x)*x
x = y*x.
  1. Agora multiplico essa nova igualdade x = y*x à direita por y:
x*y = (y*x)*y.
Avalio o lado direito: (y*x)*y = y*x*y. Pela hipótese a*b*a = a (com a:=y, b:=x) vale y*x*y = y. Portanto
x*y = y.
  1. Mas da etapa 1 temos x = y*x. Usando a igualdade inicial x*y = y*x (hipótese do começo), a etapa 2 nos dá x*y = y e pela etapa 1 x = x*y. Concluímos então
x = x*y = y.
Portanto, sempre que x*y = y*x obtemos x = y. Isso prova que * é anti-comutativa sob as hipóteses dadas.
Comentário didático: a estratégia foi “colocar” um fator x ou y à direita para possibilitar usar a identidade a*b*a=a e a idempotência a*a=a; isso reduz produtos compostos a elementos simples e permite finalizar a igualdade.

Passo 4

Provar (b): supondo que * é associativa e anti-comutativa, mostrar a*b*c = a*c para todos a,b,c\in G.
  • Primeiro, por (a) já sabemos (ou podemos repetir o argumento) que anti-comutatividade + associatividade implicam as duas identidades fundamentais válidas para todos os elementos:
x*x = x \quad\text{e}\quad x*y*x = x.
Vou usá-las livremente nesta parte.
  • Considere o produto a*b*c*a*c. Pela associatividade podemos reagrupá-lo de duas maneiras (isto é permitido por associatividade; vou escolher duas escritas que facilitam aplicar as identidades):
    1. Agrupando à esquerda:
    a*b*c*a*c = \bigl((a*b*c)*a\bigr)*c.
    Observe que (a*b*c)*a = a*(b*c)*a. Aplicando a identidade x*y*x = x com x:=a e y:=b*c obtemos
    (a*b*c)*a = a.
    Assim, a expressão anterior reduz a
    \bigl((a*b*c)*a\bigr)*c = a*c.
    Logo, pela primeira maneira de agrupar,
    a*b*c*a*c = a*c.
    1. Agrupando de outra forma (colocando c*a*c juntos):
    a*b*c*a*c = (a*b)*(c*a*c).
    Agora use a identidade x*y*x = x com x:=c e y:=a, que dá c*a*c = c. Substituindo,
    (a*b)*(c*a*c) = (a*b)*c = a*b*c.
    Assim, pela segunda forma de agrupar,
    a*b*c*a*c = a*b*c.
  • As duas igualdades valem simultaneamente (são duas formas diferentes de avaliar a mesma expressão a*b*c*a*c), portanto
a*c = a*b*c.
Reescrevendo, obtemos para todos a,b,c\in G
a*b*c = a*c,
que é exatamente o que se queria mostrar.
Comentário sobre a ideia: a dica do enunciado (\emph{considere a*b*c*a*c}) é justamente explorar que, por associatividade, a mesma cadeia de fatores pode ser reagrupada de maneiras que permitem aplicar as identidades x*y*x=x com escolhas diferentes de x e y, levando à eliminação do fator do meio b.

Resposta

(a) A operação * é anti-comutativa (isto é, x*y=y*x\Rightarrow x=y) se, e somente se, para todos a,b\in G valem a*a=a e a*b*a=a.\n(b) Se * é associativa e anti-comutativa então a*b*c = a*c para todos a,b,c\in G.

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