Sejam * uma operação binária associativa sobre G e x \in G. Mostre que a operação binária \circ sobre G definida por
a \circ b=a * x * b
é associativa.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Informação: Existe uma operação binária * em G que é associativa.
  • Informação: Existe um elemento fixo x\in G.
  • Informação: Define-se uma nova operação binária \circ em G por
a\circ b = a * x * b,
para todo a,b\in G. (Aqui a expressão significa que primeiro se aplica a * x e depois o resultado é combinado com b, mas por enquanto deixamos a associação implícita.)
  • O que pedir: Mostrar que a operação \circ é associativa; ou seja, provar que para todos a,b,c\in G
(a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c).

Passo 2

Lembrete didático do que é associatividade (para *) e como vamos usá-la.
  • Definição: Dizer que * é associativa significa que, para quaisquer p,q,r\in G,
(p * q) * r = p * (q * r).
  • Consequência prática: quando escrevemos uma cadeia como p * q * r * s, a associatividade permite que mudemos a maneira de agrupar (os parênteses) sem alterar o resultado; assim podemos tratar a expressão como uma sequência bem definida, sem ambiguidade de parenteses.
  • Vamos usar essa propriedade para comparar (a\circ b)\circ c e a\circ (b\circ c) reduzindo ambas a uma mesma expressão em termos de *.

Passo 3

Calcular e simplificar a expressão (a\circ b)\circ c passo a passo.
  • Substituindo a definição de \circ em (a\circ b)\circ c temos
(a\circ b)\circ c = \bigl(a * x * b\bigr)\circ c.
  • Agora aplicamos a definição de \circ novamente, com a * x * b no lugar do primeiro argumento:
\bigl(a * x * b\bigr)\circ c = \bigl(a * x * b\bigr) * x * c.
  • Pela associatividade de * podemos remover/alterar parênteses nessa cadeia e escrever de forma compacta
\bigl(a * x * b\bigr) * x * c = a * x * b * x * c.
Assim concluímos
(a\circ b)\circ c = a * x * b * x * c.

Passo 4

Calcular e simplificar a expressão a\circ (b\circ c) passo a passo.
  • Substituindo a definição de \circ em a\circ (b\circ c) obtemos
a\circ (b\circ c) = a\circ \bigl(b * x * c\bigr).
  • Aplicando a definição de \circ com b * x * c como segundo argumento:
a\circ \bigl(b * x * c\bigr) = a * x * \bigl(b * x * c\bigr).
  • Pela associatividade de * podemos reorganizar os parênteses na sequência e obter a mesma cadeia sem ambiguidade:
a * x * \bigl(b * x * c\bigr) = a * x * b * x * c.
Portanto
a\circ (b\circ c) = a * x * b * x * c.

Passo 5

Comparar os dois lados e concluir a associatividade de \circ.
  • Dos passos anteriores temos
(a\circ b)\circ c = a * x * b * x * c
e
a\circ (b\circ c) = a * x * b * x * c.
  • Como as duas expressões são iguais para quaisquer a,b,c\in G, segue que
(a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c)
para todos a,b,c\in G. Ou seja, \circ é associativa.

Passo 6

Comentário pedagógico rápido (exemplo concreto para fixar):
  • Tome G=\mathbb{Z} e * a adição usual (que é associativa). Escolha x=1. Então
a\circ b = a + 1 + b = a + b + 1.
Para quaisquer a,b,c temos
(a\circ b)\circ c = (a+b+1)+1+c = a+b+c+2
e
a\circ(b\circ c) = a+1+(b+c+1) = a+b+c+2,
mostrando no exemplo concreto o mesmo comportamento explicado abstratamente.

Resposta

(a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c)\quad\text{para todo }a,b,c\in G.

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