Sejam * uma operação binária associativa sobre
e
. Mostre que a operação binária
sobre
definida por
é associativa.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Informação: Existe uma operação binária
em que é associativa. - Informação: Existe um elemento fixo
. - Informação: Define-se uma nova operação binária
em por
para todo
. (Aqui a expressão significa que primeiro se aplica
e depois o resultado é combinado com
, mas por enquanto deixamos a associação implícita.)
- O que pedir: Mostrar que a operação
é associativa; ou seja, provar que para todos
Passo 2
Lembrete didático do que é associatividade (para
) e como vamos usá-la.
- Definição: Dizer que
é associativa significa que, para quaisquer ,
- Consequência prática: quando escrevemos uma cadeia como
, a associatividade permite que mudemos a maneira de agrupar (os parênteses) sem alterar o resultado; assim podemos tratar a expressão como uma sequência bem definida, sem ambiguidade de parenteses. - Vamos usar essa propriedade para comparar
e reduzindo ambas a uma mesma expressão em termos de .
Passo 3
Calcular e simplificar a expressão
passo a passo.
- Substituindo a definição de
em temos
- Agora aplicamos a definição de
novamente, com no lugar do primeiro argumento:
- Pela associatividade de
podemos remover/alterar parênteses nessa cadeia e escrever de forma compacta
Assim concluímos
Passo 4
Calcular e simplificar a expressão
passo a passo.
- Substituindo a definição de
em obtemos
- Aplicando a definição de
com como segundo argumento:
- Pela associatividade de
podemos reorganizar os parênteses na sequência e obter a mesma cadeia sem ambiguidade:
Portanto
Passo 5
Comparar os dois lados e concluir a associatividade de
.
- Dos passos anteriores temos
e
- Como as duas expressões são iguais para quaisquer
, segue que
para todos
. Ou seja,
é associativa.
Passo 6
Comentário pedagógico rápido (exemplo concreto para fixar):
- Tome
e a adição usual (que é associativa). Escolha . Então
Para quaisquer
temos
e
mostrando no exemplo concreto o mesmo comportamento explicado abstratamente.