Sejam * uma operação binária associativa sobre G e x \in G. Mostre que a operação binária \circ sobre G definida por
a \circ b=a * x * b

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Dados: * é uma operação binária associativa sobre G e x\in G.
  • Definição nova: para a,b\in G define-se \displaystyle a\circ b = a * x * b. (Aqui a escrita significa o produto de três elementos pela operação *.)
  • O que se pede: mostrar a propriedade desejada para a operação \circ (ou seja, provar a afirmativa solicitada pelo enunciado).

Passo 2

Primeiro verifico que \circ é bem-definida como operação binária em G (fechamento).
Tomando quaisquer a,b\in G, como * é uma operação binária em G temos (a * x)\in G. Aplicando * novamente a (a * x) com b obtemos (a * x) * b\in G. Logo \displaystyle a\circ b=(a * x) * b\in G. Assim \circ de fato envia G\times G em G, ou seja, é uma operação binária sobre G.

Passo 3

Vou lembrar e explicar a propriedade que posso usar: associatividade de *.
A operação * ser associativa significa que, para quaisquer p,q,r\in G, vale
(p * q) * r = p * (q * r).
Isto quer dizer que quando fazemos um produto de três elementos usando * o modo de agrupar (parênteses) não altera o resultado. Essa propriedade é a ferramenta que permite reescrever expressões com três ou mais fatores sem mudar o valor.

Passo 4

Agora faço a verificação da associatividade de \circ tomando três elementos arbitrários a,b,c\in G e comparando (a\circ b)\circ c com a\circ(b\circ c). Começo calculando o lado esquerdo e colocando parênteses explicitamente:
(a\circ b)\circ c = \bigl((a * x) * b\bigr)\circ c.
Pela definição de \circ isso é
\bigl((a * x) * b\bigr)\circ c = \Bigl(\bigl((a * x) * b\bigr) * x\Bigr) * c.

Passo 5

Aplico a associatividade de * passo a passo para rearranjar os parênteses. Primeiro, usando associatividade com p=(a*x),\, q=b,\, r=x, temos
\bigl((a * x) * b\bigr) * x = (a * x) * (b * x).
Substituindo na expressão anterior obtemos
(a\circ b)\circ c = \Bigl((a * x) * (b * x)\Bigr) * c.
Agora aplico associatividade novamente, agora com p=(a*x),\, q=(b*x),\, r=c, para obter
\Bigl((a * x) * (b * x)\Bigr) * c = (a * x) * \Bigl((b * x) * c\Bigr).

Passo 6

Observo que (b * x) * c é exatamente a definição de b\circ c. Logo a expressão do Passo 5 fica
(a\circ b)\circ c = (a * x) * \bigl(b\circ c\bigr).
Mas pela definição de \circ também temos a\circ\bigl(b\circ c\bigr) = (a * x) * \bigl(b\circ c\bigr). Portanto os dois lados coincidem:
(a\circ b)\circ c = a\circ\bigl(b\circ c\bigr)
para quaisquer a,b,c\in G.

Passo 7

Como a,b,c foram arbitrários, mostrei que a igualdade acima vale para todos os elementos de G. Isso prova a propriedade que queríamos: a operação \circ herda a associatividade de * através da definição dada.

Resposta

A operação \circ é associativa: para todos a,b,c\in G vale (a\circ b)\circ c = a\circ(b\circ c).

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