Sejam * uma operação binária associativa sobre
e
. Mostre que a operação binária
sobre
definida por
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Dados:
é uma operação binária associativa sobre e . - Definição nova: para
define-se . (Aqui a escrita significa o produto de três elementos pela operação .) - O que se pede: mostrar a propriedade desejada para a operação
(ou seja, provar a afirmativa solicitada pelo enunciado).
Passo 2
Primeiro verifico que
é bem-definida como operação binária em
(fechamento).
Tomando quaisquer , como
é uma operação binária em
temos
. Aplicando
novamente a
com
obtemos
. Logo
. Assim
de fato envia
em
, ou seja, é uma operação binária sobre
.
Tomando quaisquer
Passo 3
Vou lembrar e explicar a propriedade que posso usar: associatividade de
.
A operação ser associativa significa que, para quaisquer
, vale
A operação
Isto quer dizer que quando fazemos um produto de três elementos usando
o modo de agrupar (parênteses) não altera o resultado. Essa propriedade é a ferramenta que permite reescrever expressões com três ou mais fatores sem mudar o valor.
Passo 4
Agora faço a verificação da associatividade de
tomando três elementos arbitrários
e comparando
com
. Começo calculando o lado esquerdo e colocando parênteses explicitamente:
Pela definição de
isso é
Passo 5
Aplico a associatividade de
passo a passo para rearranjar os parênteses. Primeiro, usando associatividade com
, temos
Substituindo na expressão anterior obtemos
Agora aplico associatividade novamente, agora com
, para obter
Passo 6
Observo que
é exatamente a definição de
. Logo a expressão do Passo 5 fica
Mas pela definição de
também temos
. Portanto os dois lados coincidem:
para quaisquer
.
Passo 7
Como
foram arbitrários, mostrei que a igualdade acima vale para todos os elementos de
. Isso prova a propriedade que queríamos: a operação
herda a associatividade de
através da definição dada.
Resposta
A operação
é associativa: para todos
vale
.